LBARC 1143 Mathématique Géométrie Chapitre 10 : Eléments de géométrie dans l’espace Conditions de parallélisme, d'orthogonalité et distances Exercices pour s'entraîner

Exercices pour s’entraîner

Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.

  1. Donnez une équation du plan $\Pi$ passant par $(-1,2,3)$ et parallèle aux droites $$ \Delta_1\, :\, \left\{ \begin{array}{l} \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}\\ \frac{y}{3}=\frac{z+2}{4} \end{array} \right. $$ et $$ \Delta_2\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=2\\ \frac{y-1}{4}=\frac{z+3}{5} \end{array} \right. $$

    $\bullet\, $ Recherchez la direction et un point de la droite $\Delta_1$

    $\bullet\, $ Recherchez la direction et un point de la droite $\Delta_2$

    $\bullet\, $ Recherchez un vecteur normal au plan $\Pi$

    $\bullet\, $ Ecrivez l'équation du plan $\Pi$

    $\bullet\, $ Recherche de la direction et d'un point de la droite $\Delta_1$ : les équations de la droite $\Delta_1$ peuvent s'écrire $$\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{4}.$$ Le vecteur $(2,3,4)$ est donc un vecteur directeur de la droite $\Delta_1$ et le point $A=(1,0,-2)$ est un point de cette droite.

    $\bullet\, $ Recherche de la direction et d'un point de la droite $\Delta_2$ : les équations de la droite $\Delta_2$ peuvent s'écrire $x=2$ et $$\frac{y-1}{4}=\frac{z+3}{5}.$$ Le vecteur $(0,4,5)$ est donc un vecteur directeur de la droite $\Delta_2$ et le point $B=(2,1,-3)$ est un point de cette droite.

    $\bullet\, $ Recherche d'un vecteur normal au plan $\Pi$ : le plan $\Pi$ est parallèle aux vecteurs $(2,3,4)$ et $(0,4,5)$.  Un vecteur normal à $\Pi$ est donné par $\overrightarrow{n}=(2,3,4)\times (0,4,5)=(-1,-10,8)$.

    $\bullet\, $ Le plan $\Pi$ perpendiculaire au vecteur $\overrightarrow{n}$ et passant par le point $(-1,2,3)$ a pour équation $$-x-10y+8z=-1\cdot(-1)-10\cdot2+8\cdot 3$$ c'est-à-dire $$-x-10y+8z=5$$ ou encore $$x+10y-8z+5=0.$$

  2. Ecrivez des équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $(-2,4,5)$ et orthogonale au plan $3x-y+6z=4$ .

    Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si le vecteur directeur de la droite est proportionnel au vecteur normal du plan.

    Un vecteur normal au plan $\Pi$ est le vecteur $\vec n=(3,-1,6)$.  Ce vecteur est donc un vecteur directeur de la droite $\Delta$.  On obtient $$ \left\{ \begin{array}{l} x=-2+3t\\ y=4-t\\ z=5+6t \end{array} \right. $$

  3. Soit $P=(0,2,2)$, $Q=(2,0,0)$ et $\Delta$ la droite qui contient $P$ et $Q$. Donnez l'équation du plan médiateur du segment $PQ$.

    Le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire au milieu du segment.

    Soit $M$ le milieu du segment $PQ$, $M=(1,1,1)$.  Un vecteur normal à $\Pi$ est un vecteur directeur de $\Delta$ et donc $$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{PQ}=(2,-2,-2).$$

    Le plan $\Pi$ a donc pour équation $2x-2y-2z=d$ et comme $M\in\Pi$, on en déduit que $2-2-2=d$ d'où $d=-2$. Finalement l'équation du plan $\Pi$ est $2x-2y-2z=-2$ ou encore $x-y-z=-1$.

  4. Calculez la distance entre le plan d'équation $3x+y+2=0$ et le point $P=(2,2,-5).$

    Calculez la projection $Q$ de $P$ sur le plan.  La distance de $P$ au plan est la distance de $P$ à $Q$.

    Soit $\Pi\, :\, 3x+y+2=0$, $\vec n=(3,1,0)$ et $Q=(a,b,c)$ la projection de $P$ sur $\Pi$.

    La distance de $P$ à $\Pi$ est la distance de $P$ à $Q$ donnée par $\Vert\overrightarrow{PQ}\Vert$.

    Vu que $\overrightarrow{n}\parallel\overrightarrow{PQ}$, on a $\vert\overrightarrow{n}\odot\overrightarrow{PQ}\vert=\Vert\overrightarrow{n}\Vert\cdot\Vert\overrightarrow{PQ}\Vert$ et donc $$ \begin{array}{rcl} \Vert\overrightarrow{PQ}\Vert&=&\dfrac{\vert\overrightarrow{n}\odot\overrightarrow{PQ}\vert}{\Vert\overrightarrow{n}\Vert}\\[5mm] &=&\dfrac{\vert(3,1,0)\odot(a-2,b-2,c+5)\vert}{\sqrt{9+1}}\\[5mm] &=&\dfrac{\vert3(a-2)+(b-2)\vert}{\sqrt{10}}\\[5mm] &=&\dfrac{\vert3a+b-8\vert}{\sqrt{10}} \end{array} $$

    Puisque $Q\in\Pi$, on en déduit que $3a+b+2=0$ et donc $$ \mbox{dist}(P,\Pi)=\Vert\overrightarrow{PQ}\Vert=\dfrac{\vert-10\vert}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}. $$

  5. Calculez la distance entre les droites $AB$ et $CD$ où $A=(1,1,1)$, $B=(1/2,1/2,2)$, $C=(1,1,0)$ et $D=(2,-2,0)$.

    Pour déterminer la distance entre deux droites non parallèles $\Delta_1 $ passant par $P_1 $ et de direction $\vec u$ et $\Delta_2 $ passant par $P_2 $ et de direction $\vec v$, on écrit l'équation du plan $\Pi$ passant par $P_2 $ et parallèle à la fois à $\vec u$ et à $\vec v$.

    La distance demandée est celle de $P_1 $ à $\Pi$.

    On a $\vec u=\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)$ et $\vec v=\overrightarrow{CD}=(1,-3,0)$.  Les deux droites ne sont donc pas parallèles.  Pour trouver la distance entre les droites $AB$ et $CD$, construisons le plan $\Pi$ parallèle à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ et contenant $C$. Un vecteur normal à ce plan est $$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)\times(1,-3,0)=(3,1,2).$$  Le plan $\Pi$ a donc pour équation $3x+y+2z=4$. Finalement, $$\mbox{dist}(AB,CD)=\mbox{dist}(A,\Pi)=\dfrac{|3+1+2-4|}{\sqrt{9+1+4}}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{7}.$$