Exercices résolus
Voici quelques exemples d'exercices résolus en détails.
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Soit $P=(0,1,1)$, $Q=(1,0,0)$ et $\Delta$ la droite qui contient $P$ et $Q$. Montrez que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $\Pi\,:\, x-y-z=2$.
Le vecteur $\overrightarrow{PQ}=(1,-1,-1)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et le vecteur $\vec n=(1,-1,-1)$ est un vecteur normal au plan $\Pi$. Ces vecteurs étant égaux (et donc multiples l'un de l'autre), on en déduit que la droite est orthogonale au plan.
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Déterminez le point de percée de la droite $$ \left\{ \begin{array}{l} x+1=4y\\ y=z-2 \end{array} \right. $$ dans le plan $x+y+z=7$.
Il faut résoudre le système $$ \left\{ \begin{array}{l} x+1=4y\\ y=z-2\\ x+y+z=7 \end{array} \right. $$
On trouve $x=4y-1$, $z=y+2$ et $4y-1+y+y+2=7$. On en déduit $6y=6$ et donc $y=1$, $x=3$, $z=3$. Le point de percée de la droite dans le plan est donc le point $(3,1,3)$.
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Pour quelle valeur de $k$ la droite $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{3}\\ \frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{k} \end{array} \right. $$ est-elle parallèle au plan $\Pi\, :\, 6x-y+3z-5=0$ ?
Un vecteur directeur de la droite est le vecteur $\overrightarrow{v}=(2,3,k)$ et un vecteur normal au plan est le vecteur $\overrightarrow{n}=(6,-1,3)$.
La droite est parallèle au plan si et seulement si $\overrightarrow{v}\odot\overrightarrow{n}=0$ c'est-à-dire si $12-3+3k=0$ et donc si $k=-3$.
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Donnez les coordonnées de la projection orthogonale de $P=(2,-1,3)$ sur la droite $\Delta$ $$ \left\{ \begin{array}{l} x=3t\\ y=5t-7\\ z=2t+2 \end{array} \right. $$ Précisez la distance entre $P$ et $\Delta$.
Le point $P\not\in\Delta$. Soit $\Pi$ le plan orthogonal à $\Delta$ et contenant $P$. La projection orthogonale de $P$ sur $\Delta$ est le point de percée de $\Delta$ dans $\Pi$.
Equation du plan $\Pi$ : le vecteur $\overrightarrow{v}=(3,5,2)$ est un vecteur directeur de $\Delta$ et donc un vecteur normal à $\Pi$. Le plan $\Pi$ a donc pour équation $$3x+5y+2z=3\cdot 2+5\cdot (-1)+2\cdot 3$$ ou encore $$3x+5y+2z=7.$$
Le point de percée de $\Delta$ dans $\Pi$ s'obtient en résolvant le système $$ \left\{ \begin{array}{l} x=3t\\ y=5t-7\\ z=2t+2\\3x+5y+2z=7 \end{array} \right. $$
On trouve $3\cdot 3t+5(5t-7)+2(2t+2)=7$ et donc $t=1$. On en déduit $x=3$, $y=-2$ et $z=4$. Le point de percée est donc le point $Q=(3,-2,4)$.
La distance entre $P$ et $\Delta$ est donnée par $$d(P,Q)=\sqrt{(2-3)^2+(-1+2)^2+(3-4)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.$$
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On considère les droites $$ \Delta_1\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=1+3t\\ y=2t\\ z=1-t \end{array} \right. $$ et $$ \Delta_2\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=2+t\\ y=1\\ z=1+3t \end{array} \right. $$ avec $t\in\mathbb{R}$.
$\bullet\, $ Donnez un point et un vecteur directeur de la droite $\Delta_1$ et un point et un vecteur directeur de la droite $\Delta_2$.
$\bullet\, $ Ces deux droites sont-elles parallèles ? orthogonales ? perpendiculaires ? Justifiez.
$\bullet\, $ Ces deux droites sont-elles dans un même plan ? Si oui, donnez l'équation de ce plan.
$\bullet\, $ Le point $P_1=(1,0,1)$ est un point de la droite $\Delta_1$ et $\vec{v_1}=(3,2,-1)$ est un vecteur directeur de $\Delta_1$.
Le point $P_2=(2,1,1)$ est un point de la droite $\Delta_2$ et $\vec{v_2}=(1,0,3)$ est un vecteur directeur de $\Delta_2$.
$\bullet\, $ Puisque $\vec{v_1}$ n'est pas multiple de $\vec{v_2}$, les droites ne sont pas parallèles.
Puisque $\vec{v_1}\odot\vec{v_2}=3+0-3=0$, les droites sont orthogonales.
Puisque le système $$ \left\{ \begin{array}{l} 1+3k=2+t\\ 2k=1\\ 1-k=1+3t \end{array} \right. $$ n'a pas de solution, les droites n'ont pas d'intersection. Elles ne sont donc pas perpendiculaires.
$\bullet\, $ Les deux droites sont orthogonales mais ne se coupent pas. Elles ne sont donc pas dans un même plan.