Questions de théorie

Soit $\Delta_1$ de direction $\vec u$ et $\Delta_2$ de direction $\vec v$. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ sont proportionnels : $$\begin{array}[t]{c} \Delta_1\parallel\Delta_2\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, \vec u=k\vec v\mbox{ pour un certain }k\in\mathbb{R} \end{array}$$

Soit $\Pi_1$ le plan d'équation $n_x x+n_y y+n_z z+d_1=0$ et $\Pi_2$ le plan d'équation $m_x x+m_y y+m_z z+d_2=0$.  Les plans $\Pi_1$ et $\Pi_2$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs normaux $\vec n=(n_x,n_y,n_z)$ et $\vec m=(m_x,m_y,m_z)$ sont proportionnels : $$\begin{array}[t]{c} \Pi_1\parallel\Pi_2\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, \vec n=k\vec m\mbox{ pour un certain }k\in\mathbb{R} \end{array}$$

Soit $\Delta$ la droite de direction $\vec u$ et $\Pi$ le plan d'équation $n_x x+n_y y+n_z z+d=0$. Le plan $\Pi$ est parallèle à la droite $\Delta$ si et seulement si le vecteur $\vec u=(u_x,u_y,u_z)$ est orthogonal au vecteur $\vec n=(n_x,n_y,n_z)$ : $$\begin{array}[t]{c} \Pi\parallel\Delta\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, \vec u\perp\vec n\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, u_xn_x+u_yn_y+u_zn_z=0 \end{array}$$

Soit $\Delta_1$ de direction $\vec u$ et $\Delta_2$ de direction $\vec v$. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales si et seulement si les vecteurs directeurs $\vec u=(u_x,u_y,u_z)$ et $\vec v=(v_x,v_y,v_z)$ sont orthogonaux : $$\begin{array}[t]{c} \Delta_1\perp\Delta_2\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, \vec u\perp\vec v\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z=0 \end{array}$$

Soit $\Delta_1$ de direction $\vec u$ et $\Delta_2$ de direction $\vec v$. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs directeurs $\vec u=(u_x,u_y,u_z)$ et $\vec v=(v_x,v_y,v_z)$ sont orthogonaux et le système formé par les équations des deux droites a une solution.

Soit $\Pi_1$ le plan d'équation $n_x x+n_y y+n_z z+d_1=0$ et $\Pi_2$ le plan d'équation $m_x x+m_y y+m_z z+d_2=0$.  Les plans $\Pi_1$ et $\Pi_2$ sont orthogonaux si et seulement si les vecteurs normaux $\vec n=(n_x,n_y,n_z)$ et $\vec m=(m_x,m_y,m_z)$ sont orthogonaux : $$\begin{array}[t]{c} \Pi_1\perp\Pi_2\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, \vec n\perp\vec m\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, n_xm_x+n_ym_y+n_zm_z=0 \end{array}$$

Soit $\Delta$ la droite de direction $\vec u$ et $\Pi$ le plan d'équation $n_x x+n_y y+n_z z+d=0$. Le plan $\Pi$ est orthogonal à la droite $\Delta$ si et seulement si le vecteur $\vec u$ est proportionnel au vecteur $\vec n=(n_x,n_y,n_z)$ : $$\begin{array}[t]{c} \Pi\perp\Delta\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, \vec u=k\vec n\mbox{ pour un certain }k\in\mathbb{R} \end{array}$$

Le point de percée d'une droite dans un plan est le point d'intersection de la droite et du plan.  Il est obtenu en résolvant le système formé par les équations de la droite et celle du plan.

Soit $P_1 = (x_1,y_1,z_1 )$ et $P_2 = (x_2,y_2,z_2 )$ deux points distincts de $\mathbb{R}^3$. La distance entre les points $P_1$ et $P_2$ s'obtient en calculant la norme du vecteur $\overrightarrow{P_1P_2}$ : $$ \begin{array}[t]{c} d(P_1,P_2)=\Vert\overrightarrow{P_1P_2}\Vert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \end{array} $$

La distance du point $P_1 = (x_1,y_1,z_1 )$ au plan $\Pi$ décrit par l'équation $n_x x + n_y y + n_z z =k$ est donnée par le nombre réel positif $$ \begin{array}[t]{c} d(P_1,\Pi) = \dfrac{|n_x x_1 + n_y y_1 + n_z z_1 -k|}{\sqrt{n^2_x + n^2_y + n^2_z }} \end{array} $$

Pour déterminer la distance entre un point $P_1= (x_1,y_1,z_1 )$ et un plan $\Pi$ décrit par l'équation $n_x x + n_y y + n_z z=k$, on construit la projection orthogonale de $P_1$ sur $\Pi$. Soit $Q$ cette projection orthogonale. La distance entre les points $P_1$ et $Q$ est la longueur du plus court chemin entre $P_1$ et $\Pi$. C'est donc la distance cherchée.

Soit $Q=(x_2,y_2,z_2)$ la projection orthogonale de $P_1$ sur $\Pi$. On a $$|\vec n \odot \overrightarrow{QP_1 }| = \| \vec n \| \, \| \overrightarrow{QP_1 } \|\underbrace{|\cos (\vec n,\overrightarrow{Q P_1 } )|}_{=1}$$

et donc $$ \| \overrightarrow{QP_1}\| = \frac{|\vec n \odot \overrightarrow{QP_1 }|}{\| \vec n \|} = \frac{|n_x (x_1 - x_2 ) + n_y (y_1 - y_2 ) - n_z (z_1 - z_2 )|}{\sqrt{n^2_x + n^2_y + n^2_z }}. $$

Mais comme $Q \in \Pi$, on peut remplacer $n_x x_2 + n_y y_2 + n_z z_2 $ par $k$, ce qui donne finalement $$d(P_1,\Pi) = \frac{|n_x x_1 + n_y y_1 + n_z z_1-k|}{\sqrt{n^2_x +n^2_y + n^2_z }}.$$

Pour déterminer la distance entre deux plans parallèles, il suffit de trouver les coordonnées d'un point d'un des plans et de calculer la distance de ce point à l'autre plan.

Pour chercher la distance du point $P_1 = (x_1,y_1,z_1)$ à la droite $\Delta$ passant par $P_0 = (x_0,y_0,z_0 )$ et parallèle à $\vec u =(u_x,u_y,u_z)$,  on mène par $P_1 $ un plan $\Pi$ perpendiculaire à $\Delta$. Ce plan aura une équation de la forme $$u_x x + u_y y + u_z z = u_x x_1 + u_y y_1 + u_z z_1.$$

On cherche alors le point d'intersection $Q$ entre $\Pi$ et $\Delta$. La distance demandée est $\| \overrightarrow{P_1 Q} \|$.

Pour déterminer la distance entre deux droites parallèles, il suffit de trouver les coordonnées d'un point d'une des droites et de calculer la distance de ce point à l'autre droite.

Pour déterminer la distance entre deux droites gauches $\Delta_1 $ passant par $P_1 $ et de direction $\vec u$ et $\Delta_2 $ passant par $P_2 $ et de direction $\vec v$, on écrit l'équation du plan $\Pi$ passant par $P_2 $ et parallèle à la fois à $\vec u$ et à $\vec v$.

La distance demandée est celle de $P_1 $ à $\Pi$.

Pour déterminer la distance entre une droite et un plan parallèle, il suffit de trouver les coordonnées d'un point de la droite et de calculer la distance entre ce point et le plan.