Exercices pour s’entraîner
Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.
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Donnez un vecteur directeur de la droite $$ \Delta\, :\, \left\{\begin{array}{c} x - 5 = 0\\[2mm] \displaystyle\frac{y + 11}{2} = \frac{z + 9}{3} \end{array}\right. $$
Les composantes du vecteur directeur se trouvent aux dénominateurs.
Le vecteur $\vec{v}=(0,2,3)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
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Donnez l'équation de la droite $\Delta$ passant par $(5,-11,-9)$ et parallèle à $\vec u = (0,0,3)$.
Puisque le vecteur directeur a deux composantes nulles, la droite est l'intersection de deux plans parallèles aux axes.
Puisque un vecteur directeur de la droite est $\vec u = (0,0,3)$, on en déduit que cette droite est l'intersection des plans $x=5$ et $y=-11$ donc $$ \Delta\, :\, \left\{\begin{array}{c} x=5\\ y=-11 \end{array}\right. $$
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Donnez l'équation de la droite $\Delta$ passant par $(5,7,2)$ et parallèle à $\vec u = (2,-1,3)$.
L'équation de la droite passant par $P_0=(a,b,c)$ et parallèle au vecteur $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$ est donnée par $$ \left\{\begin{array}{c} \displaystyle\frac{x-a}{v_1} = \frac{y-b }{v_2}\\[2mm] \displaystyle\frac{y-b}{v_2} = \frac{z-c} {v_3} \end{array}\right. $$ si $v_1v_2v_3\neq 0$.
Le vecteur $\vec{u}=(2,-1,3)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et donc la droite $\Delta$ a pour équation $$ \left\{\begin{array}{c} \displaystyle\frac{x-5}{2} = \frac{y-7}{-1}\\[2mm] \displaystyle\frac{y-7}{-1} = \frac{z-2} {3} \end{array}\right. $$
On en déduit
$\bullet\, \dfrac{x-5}{2}=7-y$ d'où $x-5=14-2y$ et donc $x+2y-19=0$,
$\bullet\, 7-y=\dfrac{z-2}{3}$ d'où $21-3y=z-2$ et donc $z+3y-23=0$,
et donc l'équation de $\Delta$ est $$ \left\{ \begin{array}{l} x+2y-19=0\\ z+3y-23=0 \end{array} \right. $$
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Vérifiez si le point $R=(0,1,3)$ appartient à la droite joignant $P=(4,1,-1)$ et $Q=(2,1,1)$.
Commencez par écrire l'équation de la droite passant par $Q$ et de direction $\overrightarrow{PQ}$.
Vérifiez ensuite que le point $R$ appartient à cette droite.
Equation de la droite passant par $P$ et $Q$ : on a $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{PQ}=(-2,0,2)$ et donc la droite $\Delta$ a pour équation $$ \left\{ \begin{array}{l} x=2-2t\\ y=1\\ z=1+2t \end{array} \right. $$ avec $t\in\mathbb{R}$.
En isolant $t$ dans les équations, on trouve $\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{z-1}{2}$ d'où $2x-4=-2z+2$ et donc $x+z=3$.
On obtient l'équation de $\Delta$ : $$ \left\{ \begin{array}{l} x+z=3\\ y=1 \end{array} \right. $$
Le point $R$ appartient à la droite $\Delta$ car $0+3=3$.
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Montrez que les droites
$$ \Delta_1\, :\, \left\{\begin{array}{c} 2x-y=1\\ 3y-2z=1 \end{array}\right. $$
et
$$ \Delta_2\, :\, \left\{\begin{array}{c} 2x-y=3\\ 3y-2z=-3 \end{array}\right. $$
sont parallèles.
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont parallèles.
Le vecteur $\vec{v_1}=(2,-1,0)\times (0,3,-2)=(2,4,6)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_1$ et le vecteur $\vec{v_2}=(2,-1,0)\times (0,3,-2)=(2,4,6)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_2$. Ces deux vecteurs directeurs sont donc parallèles. Par conséquent les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles.
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Montrez que les droites
$$ \Delta_1\, :\, \left\{\begin{array}{c} 2x-y=1\\ 3y-2z=1 \end{array}\right. $$
et
$$ \Delta_2\, :\, \left\{\begin{array}{c} 4x-2y=2\\ y-4z=-3 \end{array}\right. $$
sont sécantes.
Deux droites sont sécantes si elles ont un point d'intersection.
Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ passent par le point $(1,1,1)$. Par conséquent ces droites sont sécantes.
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Montrez que les droites
$$\Delta_1\, :\, \left\{\begin{array}{c} x+2y=2\\ z=2 \end{array}\right. $$
et
$$\Delta_2\, :\, \left\{\begin{array}{c} 2x-y=1\\ 3y-2z=1 \end{array}\right. $$
sont orthogonales.
Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Le vecteur $\vec{v_1}=(1,2,0)\times (0,0,1)=(2,-1,0)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_1$ et le vecteur $\vec{v_2}=(2,-1,0)\times (0,3,-2)=(2,4,6)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_2$. Ces deux vecteurs directeurs sont orthogonaux car $(2,-1,0)\odot (2,4,6)=0$. Par conséquent les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales.
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Montrez que les droites
$$\Delta_1\, :\, \left\{\begin{array}{c} x+2y=3\\ z=1 \end{array}\right. $$
et
$$\Delta_2\, :\, \left\{\begin{array}{c} 2x-y=1\\ 3y-2z=1 \end{array}\right. $$
sont perpendiculaires.
Deux droites sont perpendicualires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux et qu'elles ont un point commun.
Le vecteur $\vec{v_1}=(1,2,0)\times (0,0,1)=(2,-1,0)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_1$ et le vecteur $\vec{v_2}=(2,-1,0)\times (0,3,-2)=(2,4,6)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_2$. Ces deux vecteurs directeurs sont orthogonaux car $(2,-1,0)\odot (2,4,6)=0$. Par conséquent les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales. De plus, les deux droites passent par le point $(1,1,1)$. Elles sont donc perpendiculaires.