LBARC 1143 Mathématique Géométrie Chapitre 10 : Eléments de géométrie dans l’espace Droites Exercices résolus

Exercices résolus

Voici quelques exemples d'exercices résolus en détails.

  1. Donnez un vecteur directeur et un point de la droite $$ \Delta\, :\, \left\{ \begin{array}{l} \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}\\ \frac{y+2}{-3}=\frac{z-5}{4} \end{array} \right. $$

    Les équations de la droite $\Delta$ peuvent s'écrire $$ \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-5}{4}. $$ Le vecteur $\overrightarrow{v_1}=(2,-3,4)$ est donc un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et le point $A=(1,-2,5)$ est un point de cette droite.

  2. Donnez l'équation de la droite $\Delta$ passant par $(5,1,-6)$ et parallèle à $\vec u = (1,0,3)$.

    $$ \Delta\, :\, \left\{\begin{array}{c} x-5 = \frac{z + 6}{3}\\[2mm] y=1 \end{array}\right. $$

    c'est-à-dire

    $$ \Delta\, :\, \left\{\begin{array}{c} 3x-z=21\\ y=1 \end{array}\right. $$

  3. Donnez l'équation de la droite $\Delta$ passant par les points $(2,3,6)$ et $(-2,4,0)$.

    Soit $P=(2,3,6)$ et $Q=(-2,4,0)$.

    Le vecteur $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{PQ}=(-4,1,-6)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et donc la droite $\Delta$ a pour équation $$ \left\{ \begin{array}{l} x=2-4k\\ y=3+k\\ z=6-6k \end{array} \right. $$  avec $k\in\mathbb{R}$.

    En isolant $k$ dans les trois équations, on trouve

    $\bullet\, \dfrac{x-2}{-4}=y-3$ d'où $x-2=-4y+12$ et donc $x+4y=14$,

    $\bullet\, y-3=\dfrac{z-6}{-6}$ d'où $-6y+18=z-6$ et donc $z+6y=24$,

    $\bullet\, \dfrac{x-2}{-4}=\dfrac{z-6}{-6}$ d'où $-6x+12=-4z+24$ et donc $6x-4z=-12$.

    On obtient l'équation de $\Delta$ en prenant deux de ces équations par exemple : $$ \left\{ \begin{array}{l} x+4y=14\\ z+6y=24 \end{array} \right. $$

  4. Donnez l'équation de la droite $\Delta$ passant par $P=(1,2,-4)$ et parallèle aux plans $\Pi_1\, :\, y-3x=5$ et $\Pi_2\, :\, z-2x=12$.

    On a $\overrightarrow{n_1}=(-3,1,0)$ et $\overrightarrow{n_2}=(-2,0,1)$.

    Puisque $\Delta\perp\overrightarrow{n_1}$ et $\Delta\perp\overrightarrow{n_2}$, on en déduit que $\Delta\parallel(\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2})$.

    Donc $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2}=(1,3,2)$ et donc la droite $\Delta$ a pour équation $$ \left\{ \begin{array}{l} x=1+t\\ y=2+3t\\ z=-4+2t \end{array} \right. $$  avec $t\in\mathbb{R}$.

    En isolant $t$ dans les trois équations, on trouve

    $\bullet\, x-1=\dfrac{y-2}{3}$ d'où $3x-3=y-2$ et donc $3x-y=1$,

    $\bullet\, \dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z+4}{2}$ d'où $2y-4=3z+12$ et donc $2y-3z=16$,

    $\bullet\, x-1=\dfrac{z+4}{2}$ d'où $2x-2=z+4$ et donc $2x-z=6$.

    On obtient l'équation de $\Delta$ en prenant deux de ces équations par exemple : $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x-y=1\\ 2y-3z=16 \end{array} \right. $$

  5. Déterminez l'intersection des droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ où  $$ \Delta_1\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=1+k\\ y=1+2k\\ z=1+3k \end{array} \right. $$ et $$ \Delta_2\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=2+3t\\ y=1+8t\\ z=13t \end{array} \right. $$ avec $k$, $t\in\mathbb{R}$.

    Pour trouver le point d'intersection, il faut résoudre le système $$ \left\{ \begin{array}{l} 1+k=2+3t\\ 1+2k=1+8t\\ 1+3k=13t \end{array} \right. $$ On trouve $k=3t+1$ et $2(3t+1)=8t$ donc $2t=2$ et $t=1$. On en déduit $k=4$.

    L'intersection des deux droites est donc le point $(5,9,13)$.

  6. Déterminez le point de percée de la droite $$ \left\{ \begin{array}{l} x+1=4y\\ y=z-2 \end{array} \right. $$ dans le plan $4x+y+z=6$.

    Il faut résoudre le système $$ \left\{ \begin{array}{l} x+1=4y\\ y=z-2\\ 4x+y+z=6 \end{array} \right. $$ On trouve $x=4y-1$, $z=y+2$ et $16y-4+y+y+2=6$. On en déduit $18y=8$ et donc $y=\frac{4}{9}$, $x=\frac{7}{9}$, $z=\frac{22}{9}$.

    Le point de percée de la droite dans le plan est donc le point $(\frac{7}{9},\frac{4}{9},\frac{22}{9})$.

  7. Montrez que les droites

    $$\Delta_1\,:\, \left\{\begin{array}{c} 3x+2y=-1\\ 4y+3z=7 \end{array}\right. $$

    et

    $$\Delta_2\, :\, \left\{\begin{array}{c} 2x+y=1\\ 6y+2z=-6 \end{array}\right. $$

    sont gauches.

    Le vecteur $\vec{v_1}=(3,2,0)\times (0,4,3)=(6,-9,12)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_1$ et le vecteur $\vec{v_2}=(2,1,0)\times (0,6,2)=(2,-4,12)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_2$. Ces deux vecteurs directeurs ne sont pas parallèles, par conséquent les deux droites ne sont pas parallèles.  De plus, le système formé par les équations des deux droites n'a pas de solution, elles ne sont donc pas sécantes.  On en déduit que les deux droites sont gauches.