Questions de théorie
Ces questions sont destinées à vous faire revoir la théorie de ce chapitre.
Donnez l'équation générale d'une droite de $\mathbb{R}^3$.
L'équation se trouve dans le syllabus, chapitre 10, section 3.
Dans l'espace, une droite est vue comme l'intersection de deux plans. Une équation de droite est donc constituée d'un système formé par les deux équations de plans : $$ \left\{\begin{array}{c}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{array}\right. $$ ou encore $$ \left\{\begin{array}{c}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \end{array}\right. $$
Donnez la direction de la droite contenant les points $A$ et $B$.
Une droite est entièrement déterminée par la donnée de deux points distincts.
En reliant ces deux points, on obtient la direction de la droite.
La direction de la droite contenant les points $A$ et $B$ est déterminée par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ou par le vecteur $\overrightarrow{BA}$ ou par un multiple de ces vecteurs.
Comment détermine-t-on si un point appartient à une droite ?
Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.
Pour voir si un point appartient à une droite, on remplace les coordonnées $(x,y,z)$ du point dans l'équation de la droite et on regarde si l'équation est vérifiée.
Donnez l'équation vectorielle de la droite contenant les points $A$ et $B$.
L'équation vectorielle de la droite est obtenue en ajoutant à un point de cette droite un multiple du vecteur directeur.
L'équation se trouve dans le syllabus, chapitre 10, section 3.1.
Un point $P$ appartient à la droite si et seulement si $$ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{AB} $$ où $k\in \mathbb{R}$.
Donnez les équations paramétriques de la droite contenant les points $A=(a_1,a_2,a_3)$ et $B=(b_1,b_2,b_3)$.
Pour obtenir les équations paramétriques, on introduit les coordonnées des points dans l'équation vectorielle.
L'équation se trouve dans le syllabus, chapitre 10, section 3.1.
En introduisant les coordonnées des points dans l'équation $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{AB}$, on obtient $$ \left\{ \begin{array}{l} x=a_1+k(b_1-a_1)\\ y=a_2+k(b_2-a_2)\\ z=a_3+k(b_3-a_3) \end{array} \right. $$ où $k\in \mathbb{R}$.
Donnez l'équation cartésienne de la droite passant par les points $A=(a_1,a_2,a_3)$ et $B=(b_1,b_2,b_3)$.
L'équation se trouve dans le syllabus, chapitre 10, section 3.2.
Pour obtenir l'équation cartésienne de la droite, on isole $k$ dans les équations paramétriques. On obtient $$ \left\{ \begin{array}{l} k=\dfrac{x-a_1}{b_1-a_1}\\ k=\dfrac{y-a_2}{b_2-a_2}\\ k=\dfrac{z-a_3}{b_3-a_3} \end{array} \right. $$ ou encore $$ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x-a_1}{b_1-a_1}=\dfrac{y-a_2}{b_2-a_2}\\ \dfrac{y-a_2}{b_2-a_2}=\dfrac{z-a_3}{b_3-a_3} \end{array} \right. $$ L'équation $$ \left\{ \begin{array}{l} (x-a_1)(b_2-a_2)=(y-a_2)(b_1-a_1)\\ (y-a_2)(b_3-a_3)=(z-a_3)(b_2-a_2) \end{array} \right. $$ est une équation cartésienne de la droite passant par les points $A$ et $B$.
Donnez l'équation cartésienne de la droite passant par les points $A=(a_1,a_2,a_3)$ et $B=(b_1,b_2,b_3)$ si $a_1=b_1$.
Remplacer $b_1$ par $a_1$ dans l'équation générale de la droite.
Si on remplace $b_1$ par $a_1$ dans l'équation $$ \left\{ \begin{array}{l} (x-a_1)(b_2-a_2)=(y-a_2)(b_1-a_1)\\ (y-a_2)(b_3-a_3)=(z-a_3)(b_2-a_2) \end{array} \right. $$ on obtient $$ \left\{ \begin{array}{l} (x-a_1)(b_2-a_2)=0\\ (y-a_2)(b_3-a_3)=(z-a_3)(b_2-a_2) \end{array} \right. $$ ou encore $$ \left\{ \begin{array}{l} x=a_1\\ (y-a_2)(b_3-a_3)=(z-a_3)(b_2-a_2) \end{array} \right. $$
Donnez l'équation de la droite passant par un point donné $P_0=(a,b,c)$ et parallèle au vecteur $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$.
L'équation se trouve dans le syllabus, chapitre 10, section 3.2.
L'équation de la droite passant par $P_0 $ et parallèle au vecteur $\vec v$ est donnée par $$ \left\{\begin{array}{c} \displaystyle\frac{x-a}{v_1} = \frac{y-b }{v_2}\\[2mm] \displaystyle\frac{y-b}{v_2} = \frac{z-c} {v_3} \end{array}\right. $$ si $v_1v_2v_3\neq 0$. Le vecteur $\vec v$ est appelé vecteur directeur de la droite.
Donnez un vecteur directeur et un point de la droite $$ \left\{\begin{array}{c} \displaystyle\frac{x-a}{v_1} = \frac{y-b }{v_2}\\[2mm] \displaystyle\frac{y-b}{v_2} = \frac{z-c} {v_3} \end{array}\right. $$
Les composantes du vecteur directeur se trouvent au dénominateur dans les équations paramétriques de la droite et les coordonnées d'un point se trouvent au numérateur.
Un vecteur directeur est donné par $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ et un point par $P=(a,b,c)$.
Donnez un vecteur directeur et un point de la droite $$ \left\{\begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \end{array}\right. $$
Le vecteur directeur de la droite est orthogonal aux vecteurs normaux des plans dont la droite est l'intersection. On le trouve en calculant le produit vectoriel de ces deux vecteurs normaux.
Pour trouver un point de la droite, on donne une valeur à une des coordonnées et on résoud le système à deux équations et deux inconnues restant.
Le vecteur $\vec{n_1}=(a_1,b_1,c_1)$ est normal au plan $a_1x+b_1y+c_1z=d_1$ et le vecteur $\vec{n_2}=(a_2,b_2,c_2)$ est normal au plan $a_2x+b_2y+c_2z=d_2$. Un vecteur directeur de la droite est orthogonal à la fois au vecteur $\vec{n_1}$ et au vecteur $\vec{n_2}$. On le trouve en calculant le produit vectoriel de ces deux vecteurs : $\vec{v}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}$.
Pour trouver un point de la droite, on donne une valeur à une des coordonnées, par exemple $z=0$, et on résoud le système à deux équations et deux inconnues restant $$ \left\{\begin{array}{c} a_1x+b_1y=d_1\\ a_2x+b_2y=d_2 \end{array}\right. $$ pour trouver les coordonnées $x$ et $y$ du point.
Donnez des conditions pour que deux droites soient parallèles.
Deux droites sont parallèles distinctes si et seulement si elles ont même direction.
Deux droites sont parallèles confondues si et seulement si elles ont même direction et si elles ont un point commun.
Deux droites sont parallèles distinctes si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont parallèles, c'est-à-dire si leurs vecteurs directeurs sont multiples l'un de l'autre.
Deux droites sont parallèles distinctes si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont parallèles et si elles ont un point commun.
Donnez des conditions pour que deux droites soient sécantes.
Deux droites sont sécantes si et seulement si elles se coupent en un seul point.
Les vecteurs directeurs de deux droites sécantes ne sont pas parallèles.
Deux droites sont sécantes si et seulement si elles se croisent en un point.
Les vecteurs directeurs de deux droites sécantes ne sont pas multiples l'un de l'autre.
Donnez des conditions pour que deux droites soient orthogonales.
Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs directions forment un angle droit.
Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Les vecteurs directeurs de deux droites orthogonales ont leur produit scalaire égal à $0$.
Deux droites orthogonales n'ont pas nécessairement un point commun.
Donnez des conditions pour que deux droites soient perpendiculaires.
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux et elles ont un point commun. Les vecteurs directeurs de deux droites perpendiculaires ont leur produit scalaire égal à $0$.
Deux droites perpendiculaires se coupent en un point.
Donnez des conditions pour que deux droites soient gauches.
Deux droites sont gauches si et seulement si elles ne sont ni sécantes ni parallèles.
Deux droites sont gauches si et seulement si leurs vecteurs directeurs ne sont pas multiples l'un de l'autre et elles n'ont aucun point commun.
Comment trouve-t-on le point d'intersection de deux droites ?
Pour trouver le point d'intersection de deux droites on résoud le système formé par les équations des droites.
Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont obtenues en résolvant le système formé par leurs équations.