LBARC 1143 Mathématique Géométrie Chapitre 10 : Eléments de géométrie dans l’espace Examen

Questions d'examen

Voici quelques questions qui ont été posées lors d'anciens examens et qui concernent ce chapitre.

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On considère la droite

$ \Delta\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x+y+2z=5\\ x-z=-2 \end{array} \right. $

  1. Déterminez l'équation du plan $\Pi$ qui passe par le point $P=(1,1,1)$ et la droite $\Delta$.

    Le plan $\Pi$ contient les points $P$ et $Q$. Son vecteur normal est donc orthogonal au vecteur $\overrightarrow{PQ}=(0,-3,2)$. De plus, le plan $\Pi$ contient la droite $\Delta$. Son vecteur normal est donc orthogonal au vecteur directeur de la droite $\vec{v}=(-1,3,-1)$. On en déduit que le vecteur $\vec{n}=\vec{v}\times\overrightarrow{PQ}=(3,2,3)$ est un vecteur normal au plan $\Pi$. Le plan $\Pi$ a donc pour équation

    $$3x+2y+3z=3+2+3$$

    c'est-à-dire

    $$3x+2y+3z=8.$$

  2. Donnez un point et un vecteur directeur de la droite $\Delta$.

    Le point $Q=(1,-2,3)$ est un point de la droite $\Delta$.

    Soit $\vec{n_1}=(1,1,2)$ un vecteur normal au plan $x+y+2z=5$ et $\vec{n_2}=(1,0,-1)$ un vecteur normal au plan $x-z=-2$. Alors le vecteur $\vec{v}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=(-1,3,-1)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
2

On considère la sphère d'équation

$$x^2+y^2+z^2-6x+2y+5=0.$$

  1. Déterminez le centre $C$ et le rayon de la sphère.

    L'équation peut se récrire

    $$(x^2-6x+9)+(y^2+2y+1)+z^2=-5+9+1$$

    $$(x-3)^2+(y+1)^2+z^2=5$$

    Le centre est donc $C=(3,-1,0)$ et le rayon est $r=\sqrt{5}$.

  2. Déterminez les intersections de la sphère avec l'axe $0X$.

    Il faut résoudre le système
    $ \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+z^2-6x+2y+5=0\\ y=0\\ z=0 \end{array} \right. $

    On trouve $x^2-6x+5=0$ et donc $x=1$ ou $x=5$.

    Les deux intersections sont les points $(1,0,0)$ et $(5,0,0)$.

  3. Soit la droite

    $ \Delta\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x+y=4\\ 2y+z=3 \end{array} \right. $

    Trouvez la ou les intersection(s) de la droite $\Delta$ avec la sphère.

    La droite est-elle sécante ou tangente à la sphère ?

    Il faut résoudre le système

    $ \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+z^2-6x+2y+5=0\\ x+y=4\\ 2y+z=3 \end{array} \right. $
     

    On trouve $y^2-2y+1=0$ et donc $y=1$. On en déduit $x=3$ et $z=1$.

    Il y a donc un seul point d'intersection $(3,1,1)$ entre la droite et la sphère, ce qui signifie que la droite est tangente à la sphère.

  4. Déterminez la distance entre le centre $C$ et le plan d'équation $-3x+y+z=2$.

    Soit $C=(3,-1,0)$ et $\Pi\, :\, -3x+y+z=2$. Un vecteur normal à $\Pi$ est $\vec{n}=(-3,1,1)$. On en déduit que

    $$d=\dfrac{|-9-1+0-2|}{\sqrt{9+1+1}}=\dfrac{12}{\sqrt{11}}=\dfrac{12\sqrt{11}}{11}.$$
3

On considère le plan $\Pi\, :\, 2x-3y+z+3=0$ et les droites

$ \Delta_1\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0\\ z-y=-2 \end{array} \right. $

et

$ \Delta_2\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=-2+2t\\ z=1+2t \end{array} \right. $

où $t\in\mathbb{R}$.

  1. Déterminez les équations paramétriques de la droite $\Delta_1$.

    La droite $\Delta_1$ est l'intersection des plans $x+y+z=0$ et $z-y=-2$.

    Le plan $x+y+z=0$ est orthogonal au vecteur $(1,1,1)$ et le plan $z-y=-2$ est orthogonal au vecteur $(0,-1,1)$.

    Le vecteur $\vec{v_1}=(1,1,1)\times (0,-1,1)=(2,-1,-1)$ est donc un vecteur directeur de la droite $\Delta_1$.

    Le point $(0,1,-1)$ est un point de la droite $\Delta_1$. On en déduit que cette droite a pour équations paramétriques

    $ \Delta_1\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=0+2t\\ y=1-t\\ z=-1-t \end{array} \right.$

    où $t\in\mathbb{R}$.

  2. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont-elles parallèles au plan $\Pi$ ?

    Le plan $\Pi$ est orthogonal au vecteur $\vec{n}=(2,-3,1)$, la droite $\Delta_1$ a pour direction $\vec{v_1}=(2,-1,-1)$ et la droite $\Delta_2$ a pour direction $\vec{v_2}=(2,2,2)$. Or on a

    $$\Delta\parallel\Pi\Leftrightarrow\vec{v}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\vec{v}\odot\vec{n}=0.$$

    Puisque $\vec{v_1}\odot\vec{n}=4+3-1\neq 0$, la droite $\Delta_1$ n'est pas parallèle à $\Pi$.

    Mais $\vec{v_2}\odot\vec{n}=4-6+2= 0$ donc la droite $\Delta_2$ est parallèle à $\Pi$.

  3. Déterminez les équations paramétriques des droites $\Delta_1'$ et $\Delta_2'$ respectivement parallèles aux droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ et passant par le point $P=(1,-1,3)$.

    On a $\vec{v_1}=(2,-1,-1)$, $\vec{v_2}=(2,2,2)$ et $P=(1,-1,3)$ donc

    $ \Delta_1'\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=3-t \end{array} \right. $

    et

    $ \Delta_2'\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=-1+2t\\ z=3+2t \end{array} \right.$

    où $t\in\mathbb{R}$.

  4. Donnez les coordonnées du point de percée de la droite $\Delta_1$ dans le plan $\Pi$.

    Il faut résoudre le système

    $ \left\{ \begin{array}{l} x=2t\\ y=1-t\\ z=-1-t\\ 2x-3y+z+3=0 \end{array} \right. $

    On en déduit $2(2t)-3(1-t)+(-1-t)+3=0$ donc $6t-1=0$ et $t=\frac{1}{6}$.

    Le point de percée est $(\frac{1}{3},\frac{5}{6},-\frac{7}{6})$.

  5. Déterminez le centre $C$ et le rayon de la sphère

    $$x^2+y^2+z^2-2x+2y+4z+2=0.$$

    On a

    \begin{array}{c} x^2+y^2+z^2-2x+2y+4z+2=0\\ x^2-2x+1+y^2+2y+1+z^2+4z+4=-2+1+1+4\\ (x-1)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=4 \end{array}

    Le centre est donc $C=(1,-1,-2)$ et le rayon $r=\sqrt{4}=2$.

  6. Déterminez la distance entre le centre $C$ et le plan $\Pi$.

    On a

    $$d(C,\Pi)=\dfrac{|(\vec{n}\odot\overrightarrow{OC})+3|}{\Vert\vec{n}\Vert}=\dfrac{|2+3-2+3|}{\sqrt{4+9+1}}=\dfrac{6}{\sqrt{14}}.$$
4

On consid\`ere les droites

$ \Delta_1\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=1+3t\\ y=2t\\ z=1-t \end{array} \right. $

et

$ \Delta_2\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=2+t\\ y=1\\ z=1+3t \end{array} \right. $

avec $t\in\mathbb{R}$.

  1. Donnez un point et un vecteur directeur de la droite $\Delta_1$ et un point et un vecteur directeur de la droite $\Delta_2$.

    Le point $P_1=(1,0,1)$ est un point de la droite $\Delta_1$ et $\vec{v_1}=(3,2,-1)$ est un vecteur directeur de $\Delta_1$.

    Le point $P_2=(2,1,1)$ est un point de la droite $\Delta_2$ et $\vec{v_2}=(1,0,3)$ est un vecteur directeur de $\Delta_2$.

  2. Ces deux droites sont-elles parallèles ? orthogonales ? perpendiculaires ? Justifiez.

    Puisque $\vec{v_1}$ n'est pas multiple de $\vec{v_2}$, les droites ne sont pas parallèles.

    Puisque $\vec{v_1}\odot\vec{v_2}=3+0-3=0$, les droites sont orthogonales.

    Puisque le système

    $ \left\{ \begin{array}{l} 1+3k=2+t\\ 2k=1\\ 1-k=1+3t \end{array} \right. $

    n'a pas de solution, les droites n'ont pas d'intersection. Elles ne sont donc pas perpendiculaires.

  3. Ces deux droites sont-elles dans un même plan ? Si oui, donnez l'équation de ce plan.

    Les deux droites sont orthogonales mais ne se coupent pas. Elles ne sont donc pas dans un même plan.
5

On considère les droites

$ \Delta_1\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=1+t\\ y=2+t\\ z=3-t \end{array} \right. $

et

$ \Delta_2\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=2k\\ y=1-k\\ z=2 \end{array} \right. $

avec $t,\, k\in\mathbb{R}$.

  1. Donnez un vecteur directeur et un point de la droite $\Delta_1$.

    Le vecteur $\vec{v_1}=(1,1,-1)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_1$ et $P_1=(1,2,3)$ est un point de cette droite.

  2. Donnez un vecteur directeur et un point de la droite $\Delta_2$.

    Le vecteur $\vec{v_2}=(2,-1,0)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta_2$ et $P_2=(0,1,2)$ est un point de cette droite.

  3. Donnez l'équation de la droite $\Delta_3$ parallèle à $\Delta_2$ et qui passe par le point $P=(3,-2,4)$.

    Deux droites parallèles ont le même vecteur directeur. La droite $\Delta_3$ passe par $P=(3,-2,4)$ et est de direction $\vec{v_2}$. Elle a pour équation

    $ \Delta_3\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=3+2t\\ y=-2-t\\ z=4 \end{array} \right. $
     

     avec $t\in\mathbb{R}$.

  4. Déterminez si les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont sécantes, gauches ou parallèles.

    On a $\vec{v_1}\neq k\vec{v_2}$ pour $k\in\mathbb{R}$. Les droites ne sont donc pas parallèles.

    Puisque $\vec{v_1}\odot\vec{v_2}\neq 0$, elles ne sont pas non plus orthogonales.

    Le système

    $ \left\{ \begin{array}{l} 1+t=2k\\ 2+t=1-k\\ 3-t=2 \end{array} \right. $

    n'a pas de solution. En effet, on déduit de la troisième équation que $t=1$ et de la deuxième que $k=-2$. Ces valeurs ne satisfont pas la première équation. Les deux droites n'ont donc pas d'intersection.

    On en déduit qu'elles sont gauches.

  5. Déterminez la distance entre les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$.

    Soit $\Pi$ le plan passant par $P_2$ et parallèle à $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$. Le vecteur $\vec{n}=\vec{v_1}\times\vec{v_2}=(-1,-2,-3)$ est orthogonal au plan $\Pi$. Ce plan a donc pour équation $x+2y+3z=8$.

    La distance entre les deux droites est donnée par la distance entre $P_1$ et $\Pi$ :

    $$d=\dfrac{|-1-4-9+8|}{\sqrt{1+4+9}}=\dfrac{6}{\sqrt{14}}.$$