Exercices résolus
Voici quelques exemples d'exercices résolus en détails.
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Donnez un vecteur normal au plan $4x-5y+7z=3$.
Les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans l'équation du plan forment un vercteur normal au plan. Donc le vecteur $\vec{n}=(4,-5,7)$ est un vecteur normal au plan donné.
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Donnez l'équation d'un plan orthogonal au vecteur $(2,-3,5)$.
On met les coordonnées du vecteur normal en coefficients de $x$, $y$ et $z$ pour obtenir l'équation du plan : $2x-3y+5z=k$ avec $k\in\mathbb{R}$.
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Donnez les équations paramétriques et cartésienne du plan passant par $A=(1,2,3)$, $B=(1,-1,2)$ et $C=(0,1,0)$.
Les vecteurs directeurs du plan sont les vecteurs $\overrightarrow{AB}=(0,-3,-1)$ et $\overrightarrow{BC}=(-1,2,-2)$.
Les équations paramétriques sont $$ \left\{ \begin{array}{l} x=1-l\\ y=2-3k+2l\\ z=3-k-2l \end{array} \right. $$ avec $k,\, l\in\mathbb{R}$.
Un vecteur normal au plan est le vecteur $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}=(8,1,-3)$.
Une équation cartésienne est donc donnée par $8x+y-3z=d$. Le point $C$ appartient au plan et donc $d=1$. Finalement l'équation cartésienne est donnée par $8x+y-3z=1$.
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Donnez une équation cartésienne du plan $\Pi$ parallèle au plan d'équation $x-3y+5z=1$ et passant par le point $(2,3,-1)$.
On a $\overrightarrow{n}=(1,-3,5)$ et donc $\Pi\, :\, x-3y+5z=d$.
Vu que $(2,3,-1)\in\Pi$, on en déduit $2-9-5=d$ d'où $d=-12$.
Le plan $\Pi$ a donc pour équation $x-3y+5z+12=0$.
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Donnez une équation cartésienne du plan $\Pi$ perpendiculaire au vecteur $(1,3,4)$ et passant par le point $(1,0,2)$.
On a $\overrightarrow{n}=(1,3,4)$ et donc $\Pi\, :\, x+3y+4z=d$.
Vu que $(1,0,2)\in\Pi$, on en déduit $1+8=d$ d'où $d=9$.
Le plan $\Pi$ a donc pour équation $x+3y+4z-9=0$.
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Donnez une équation cartésienne du plan $\Pi$ parallèle aux vecteurs $(1,1,0)$ et $(0,1,1)$ et passant par le point $(2,0,0)$.
On a $\overrightarrow{n}=(1,1,0)\times(0,1,1)=(1,-1,1)$ et donc $\Pi\, :\, x-y+z=d$.
Vu que $(2,0,0)\in\Pi$, on en déduit $d=2$.
Le plan $\Pi$ a donc pour équation $x-y+z=2$.
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Donnez une équation cartésienne du plan $\Pi$ qui contient les points $A=(1,2,1)$ et $B=(1,0,1)$ et est parallèle au vecteur $\overrightarrow{CD}$, avec $C=(0,2,0)$ et $D=(1,3,-1)$.
On a $\overrightarrow{AB}=(0,-2,0)$ et $\overrightarrow{CD}=(1,1,-1)$.
On en déduit que $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=(2,0,2)$ et donc $\Pi\, :\, 2x+2z=d$.
Vu que $A\in\Pi$, on en déduit $2+2=d$ d'où $d=4$.
Le plan $\Pi$ a donc pour équation $x+z=2$.
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Donnez une équation cartésienne du plan $\Pi$ qui contient les points $A=(1,2,1), B=(1,0,1)$ et $C=(3,4,5)$.
On a $\overrightarrow{AB}=(0,-2,0)$ et $\overrightarrow{BC}=(2,4,4)$.
On en déduit que $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}=(-8,0,4)$ et donc $\Pi\, :\, -8x+4z=d$.
Vu que $B\in\Pi$, on en déduit $-8+4=d$ d'où $d=-4$.
Le plan $\Pi$ a donc pour équation $-2x+z+1=0$.
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Donnez une équation cartésienne du plan $\Pi$ sachant que la perpendiculaire à $\Pi$ passant par $A=(3,4,5)$ rencontre $\Pi$ au point $B=(2,1,0)$.
On a $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=(-1,-3,-5)$ et donc $\Pi\, :\, -x-3y-5z=d$.
Vu que $B\in\Pi$, on en déduit $-2-3=d$ d'où $d=-5$.
Le plan $\Pi$ a donc pour équation $-x-3y-5z=-5$ ou encore $x+3y+5z=5$.