Questions de théorie
Ces questions sont destinées à vous faire revoir la théorie de ce chapitre.
Donnez l'équation des plans $OXY$, $OXZ$ et $OYZ$.
Le plan $OXY$ contient tous les points dont la troisième coordonnée est nulle.
Le plan $OXZ$ contient tous les points dont la deuxième coordonnée est nulle.
Le plan $OYZ$ contient tous les points dont la première coordonnée est nulle.
Plan $OXY=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\, :\, z=0\}=\{(x,y,0);\, x,\, y\in \mathbb{R}\}$. L'équation de ce plan est $z=0$.
Plan $OXZ=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\, :\, y=0\}=\{(x,0,z);\, x,\, z\in \mathbb{R}\}$. L'équation de ce plan est $y=0$.
Plan $OYZ=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\, :\, x=0\}=\{(0,y,z);\, y,\, z\in \mathbb{R}\}$. L'équation de ce plan est $x=0$.
Donnez des exemples de plans horizontal, vertical perpendiculaire au tableau, vertical parallèle au tableau.
Les plans horizontaux ont pour équation $z=C$ où $C\in\mathbb{R}$.
Les plans verticaux perpendiculaires au tableau ont pour équation $y=C$ où $C\in\mathbb{R}$.
Les plans verticaux parrallèles au tableau ont pour équation $x=C$ où $C\in\mathbb{R}$.
Le plan $z=4$ est un plan horizontal obtenu en translatant le plan $OXY$ de $4$ unités vers le haut.
Le plan $y=-3$ est un plan vertical perpendiculaire à la feuille obtenu en translatant le plan $OXZ$ de $3$ unités vers la gauche.
Le plan $x=10$ est un plan vertical parallèle à la feuille obtenu en translatant le plan $OYZ$ de $10$ unités vers l'avant.
Donnez la direction du plan contenant les points $A$, $B$ et $C$.
Un plan est entièrement déterminé par la donnée de trois points distincts non colinéaires.
En reliant ces points deux à deux, on obtient la direction du plan.
La direction du plan contenant les trois points $A$, $B$ et $C$ est déterminée par les vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ou par les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ ou par les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
Donnez l'équation vectorielle du plan contenant les points $A$, $B$ et $C$.
L'équation vectorielle du plan est obtenue en ajoutant à un point du plan une combinaison linéaire des vecteurs directeurs.
L'équation se trouve dans le syllabus, chapitre 10, section 2.1.
Un point $P$ appartient au plan si et seulement si $$ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{AB}+l\overrightarrow{AC} $$ où $k$, $l\in \mathbb{R}$.
Donnez les équations paramétriques du plan contenant les points $A=(a_1,a_2,a_3)$, $B=(b_1,b_2,b_3)$ et $C=(c_1,c_2,c_3)$.
Pour obtenir les équations paramétriques, on introduit les coordonnées des points dans l'équation vectorielle.
L'équation se trouve dans le syllabus, chapitre 10, section 2.1.
En introduisant les coordonnées des points dans l'équation $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{AB}+l\overrightarrow{AC}$, on obtient $$ \left\{ \begin{array}{l} x=a_1+k(b_1-a_1)+l(c_1-a_1)\\ y=a_2+k(b_2-a_2)+l(c_2-a_2) \\ z=a_3+k(b_3-a_3)+l(c_3-a_3) \end{array} \right. $$ où $k$, $l\in \mathbb{R}$.
Donnez l'équation du plan passant par un point donné $P_0=(a,b,c)$ et orthogonal au vecteur $\vec{n}=(n_1,n_2,n_3)$.
L'équation se trouve dans le syllabus, chapitre 10, section 2.2.
L'équation $$ n_1 x + n_2 y + n_3 z = n_1 a + n_2 b + n_3 c $$ est une équation cartésienne du plan passant par le point $P_0$ et orthogonal au vecteur $\vec{n}$.
Démontrez que l'équation du plan passant par un point donné $P_0=(a,b,c)$ et orthogonal au vecteur $\vec{n}=(n_1,n_2,n_3)$ est $n_1x+n_2y+n_3z=n_1a+n_2b+n_3c$.
Exprimez le fait que un point $P = (x,y,z)$ appartient au plan si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{P_0 P}$ est orthogonal au vecteur $\vec n$, donc si et seulement si $\overrightarrow{P_0 P} \odot \vec n = 0$.
La démonstration se trouve dans le syllabus, chapitre 10, section 2.
Un point $P = (x,y,z)$ appartient au plan si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{P_0 P}$ est orthogonal au vecteur $\vec n$, donc si et seulement si $\overrightarrow{P_0 P} \odot \vec n = 0$.
Comme $\overrightarrow{P_0 P}$ a pour coordonnées $(x-a,y-b,z-c)$, on obtient $$ \overrightarrow{P_0 P} \odot \vec n = 0 $$ $$ (x-a) n_1 + (y-b) n_2 + (z-c) n_3 = 0 $$ ou encore $$ n_1x+n_2y+n_3z=n_1a+n_2b+n_3c. $$
Donnez un vecteur normal au plan $ax+by+cz=d$.
Un vecteur normal au plan est un vecteur qui est orthogonal au plan.
Dans l'équation $n_1x+n_2y+n_3z=n_1a+n_2b+n_3c$ on remarque que les coefficients respectifs de $x$, $y$ et $z$ sont précisément les coordonnées du vecteur normal $\vec n$. Pour trouver les coordonnées d'un vecteur normal, il suffit donc de regarder les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans l'équation.
Un vecteur normal au plan $ax+by+cz=d$ est le vecteur $(a,b,c)$.
Remarquez que tout multiple de ce vecteur est encore un vecteur normal au plan.
Comment voit-on si deux plans sont parallèles ?
Deux plans sont parallèles s'ils sont orthogonaux au même vecteur $\vec{n}$.
Deux plans sont parallèles s'ils sont orthogonaux au même vecteur $\vec{n}$.
Dans l'équation $n_1x+n_2y+n_3z=n_1a+n_2b+n_3c$, les coefficients respectifs de $x$, $y$ et $z$ sont précisément les coordonnées du vecteur normal $\vec n$.
Deux plans sont donc parallèles si et seulement si ils ont mêmes coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans leur équation.