Questions d'examen
Voici quelques questions qui ont été posées lors d'anciens examens et qui concernent ce chapitre.
Montrez que dans un cercle, un diamètre perpendiculaire à une corde divise celle-ci en 2 parties égales.
Soit $r$ le rayon du cercle, $AB$ la corde et $OX$ le diamètre tel que $AB\perp OX$.
Il faut voir que $\vert AX\vert=\vert XB\vert$.
Par Pythagore dans le triangle $AXO$, on a
$$\vert AX\vert^2=\vert OA\vert^2-\vert XO\vert^2.$$
Par Pythagore dans le triangle $BXO$, on a
$$\vert XO\vert^2=\vert OB\vert^2-\vert XB\vert^2.$$
On en déduit \begin{array}{rcl} \vert AX\vert^2&=&\vert OA\vert^2-\vert XO\vert^2\\ &=&\vert OA\vert^2-(\vert OB\vert^2-\vert XB\vert^2)\\ &=&\vert OA\vert^2-\vert OB\vert^2+\vert XB\vert^2\\ &=&r^2-r^2+\vert XB\vert^2\\ &=&\vert XB\vert^2 \end{array}
et donc $\vert AX\vert=\vert XB\vert$.