Questions de théorie

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $C$, $AB$ étant l'hypoténuse. Nous noterons $\vert AB\vert$ pour la longueur du segment joignant $A$ à $B$. Soit $\vert AB\vert = c$, $\vert AC\vert = b$ et $\vert BC\vert = a$, on aura donc $$ \vert BC\vert^2 + \vert AC\vert^2 = \vert AB\vert^2 $$ ou encore $$ a^2 + b^2 = c^2. $$

Construisons un carré de côté $a+b$ et décomposons-le de deux manières différentes :

L'aire du premier carré est égale à $c^2+4\dfrac{ab}{2}=c^2+2ab.$

Celle du deuxième carré est égale à $a^2+b^ 2+4\dfrac{ab}{2}=a^2+b^ 2+2ab.$

Puisque les deux aires sont égales, on obtient $a^2+b^2=c^2$.

Les triangles rectangles possèdent les propriétés suivantes.

• Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle.
• On peut inscrire tout triangle rectangle dans un demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse du triangle.
• Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
• Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de la hauteur relative à l'hypoténuse est égal au produit des longueurs des segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse.
• Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur d'un côté de l'angle droit est égal au produit de la longueur de l'hypoténuse par la longueur de sa projection orthogonale sur l'hypoténuse.

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Le troisième côté est appelé base du triangle.

Dans un triangle isocèle,

• les angles à la base ont même amplitude;
• la médiatrice de la base est égale à la bissectrice de l'angle opposé;
• la médiatrice de la base est aussi médiane;
• la médiatrice de la base est aussi hauteur.