Exercices pour s’entraîner
Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.
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Résolvez l'équation $\cos{x}=-\frac{1}{2}$.
La méthode se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.
$$\cos{x}=-\frac{1}{2}$$
$$x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\mbox{ ou }x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$$
$$S=\left\{x\, :\, x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\mbox{ ou }x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\right\}$$
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Résolvez l'équation $2\sin{3x}+\sqrt{3}=0$.
La méthode se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.
$$2\sin{3x}+\sqrt{3}=0$$
$$\sin{3x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$ \begin{array}{lcl} 3x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi&\mbox{ ou }&3x=\pi+\frac{\pi}{3}+2k\pi\\ 3x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi&\mbox{ ou }&3x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\\ x=\frac{5\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}&\mbox{ ou }&x=\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3} \end{array} $$
$$S=\left\{x\, :\, x=\frac{5\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\mbox{ ou }x=\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3};\, k\in\mathbb{Z}\right\}$$
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Résolvez l'équation $\mbox{tg }2x+1=0$.
La méthode se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.
$$\mbox{tg }2x+1=0$$
$$\mbox{tg }2x=-1$$
$$2x=\frac{3\pi}{4}+k\pi$$
$$x=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$$
$$S=\left\{x\, :\, \frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2};\, k\in\mathbb{Z}\right\}$$
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Résolvez l'équation $\sin 2x - \cos x=0$.
La méthode se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.
$$\sin{2x}-\cos{x}=0$$
$$\sin{2x}=\cos{x}$$
$$\sin{2x}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$$
$$\begin{array}{rcl} 2x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi& \mbox{ ou }&2x=\pi-(\frac{\pi}{2}-x)+2k\pi\\ 3x=\frac{\pi}{2}+2k\pi& &x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}&& \end{array} $$
$$S=\left\{x\, :\, x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\mbox{ ou }x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3};\, k\in\mathbb{Z}\right\}$$
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Résolvez l'équation $\cos{x}+\sin{\frac{x}{2}}-1=0$.
La méthode se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.
$$\cos{x}+\sin{\frac{x}{2}}-1=0$$
$$\sin{\frac{x}{2}}+\cos{x}-1=0$$
$$\sin{\frac{x}{2}}+1-2\sin^2{\frac{x}{2}}-1=0$$
$$\sin{\frac{x}{2}}\left(1-2\sin{\frac{x}{2}}\right)=0$$
$$\begin{array}{rcl} \sin{\frac{x}{2}}=0& \mbox{ ou }&1-2\sin{\frac{x}{2}}=0\\ \frac{x}{2}=k\pi& &2\sin{\frac{x}{2}}=1\\ x=2k\pi& &\sin{\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\\ &&\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ &&x=\frac{\pi}{3}+4k\pi\\ && \mbox{ ou }\\ &&\frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\ &&x=\frac{5\pi}{3}+4k\pi \end{array} $$
$$S=\left\{x\, :\, x=2k\pi\mbox{ ou }x=\frac{\pi}{3}+4k\pi\mbox{ ou }x=\frac{5\pi}{3}+4k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\right\}$$
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Résolvez l'équation $2\cos^2{x}-3\cos{x}=2$.
La méthode se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.
Posons $t=\cos{x}$. L'équation peut se récrire $2t^2-3t-2=0$. Les racines de cette équation sont $t=2$ et $t=-\frac{1}{2}$.
$\bullet\, $Si $t=\cos{x}=2$ alors c'est impossible.
$\bullet\, $Si $t=\cos{x}=-\frac{1}{2}$ alors $x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
La solution est donnée par
$$S=\left\{\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\, \frac{4\pi}{3}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\right\}.$$
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Résolvez l'équation $2-3\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=0$ sachant que $\alpha\in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$.
La méthode se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.
$$2-3\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=0$$
$$3\sin^2{\alpha}-(1-\sin^2{\alpha})=2$$
$$4\sin^2{\alpha}=3$$
$$\sin^2{\alpha}=\frac{3}{4}$$
$$\sin{\alpha}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Si $\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ alors $\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $\alpha=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$. Parmi ces angles, le seul à être dans $ [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ est $\frac{2\pi}{3}$.
Si $\sin{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ alors $\alpha=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$ ou $\alpha=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$. Parmi ces angles, le seul à être dans $ [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ est $\frac{4\pi}{3}$.
On obtient
$$S=\left\{\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}\right\}.$$