Exercices résolus
Voici quelques exemples d'exercices résolus en détails.
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Déterminez tous les angles $x$ tels que $\sin x =\frac{1}{2}$.
Une solution est $x = {\pi \over 6}$. L'ensemble des solutions est donc
$$S= \left\{ {\pi \over 6} + 2k\pi, \, {5\pi\over 6} +2k\pi;\, k\in \mathbb{Z} \right\}.$$
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Déterminez tous les angles $x$ tels que $\mbox{tg }x = -1$.
Une solution est $x = -{\pi \over 4}$. L'ensemble des solutions est donc
$$S= \left\{ -{\pi \over 4} + k\pi;\, k \in \mathbb{Z} \right\}.$$
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Résolvez l'équation $\sin{(3x+20^{\circ})} = \sin{(x+50^{\circ})}$.
Il faut que
$$ \begin{array}{lcl} 3x+20^{\circ}=x+50^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}&\mbox{ ou }&3x+20^{\circ}=180^{\circ}-(x+50^{\circ})+k\cdot 360^{\circ}\\ 2x=30^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}&\mbox{ ou }&4x=110^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}\\ x=15^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}&\mbox{ ou }&x=27^{\circ}30'+k\cdot 90^{\circ}\\ \end{array} $$
L'ensemble des solutions est donc
$$S= \{15^{\circ}+k\cdot 180^{\circ},\, 27^{\circ}30'+k\cdot 90^{\circ};\, k\in \mathbb{Z} \}.$$
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Résolvez l'équation $\cos{(x+\frac{\pi}{2})} = \cos{(3x)}$.
Il faut que
$$ \begin{array}{lcl} x+\frac{\pi}{2}=3x+2k\pi&\mbox{ ou }&x+\frac{\pi}{2}=-3x+2k\pi\\ -2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi&\mbox{ ou }&4x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\ x=\frac{\pi}{4}+k\pi&\mbox{ ou }&x=-\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}\\ \end{array} $$
L'ensemble des solutions est donc
$$S=\left \{\frac{\pi}{4}+k\pi,\, -\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2};\, k\in \mathbb{Z} \right\}.$$
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Déterminez tous les angles $x$ tels que $\sin{(x+\frac{\pi}{3})} = \cos{(2x)}$.
On peut récrire cette équation
$$\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)} = \cos{(2x)}$$
ou encore
$$\cos{\left(\frac{\pi}{6}-x\right)} = \cos{(2x)}.$$
Il faut donc que
$$ \begin{array}{lcl} \frac{\pi}{6}-x=2x+2k\pi&\mbox{ ou }&\frac{\pi}{6}-x=-2x+2k\pi\\ -3x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi&\mbox{ ou }&x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ x=\frac{\pi}{18}+2k\frac{\pi}{3}&\mbox{ ou }&x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ \end{array} $$
L'ensemble des solutions est donc
$$S= \left\{\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3},\, -\frac{\pi}{6}+2k\pi;\, k\in \mathbb{Z} \right\}.$$
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Déterminez tous les angles $x$ tels que $2\sin^2{x}-\sin{x}=1$.
Posons $t=\sin{x}$. L'équation peut se récrire $2t^2-t-1=0$. Les racines de cette équation sont $t=1$ et $t=-\frac{1}{2}$.
$\bullet\, $Si $t=\sin{x}=1$ alors $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\, k\in\mathbb{Z}$.
$\bullet\, $Si $t=\sin{x}=-\frac{1}{2}$ alors $x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\frac{1\mbox{} 1\pi}{6}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Les solutions de cette équation sont donc
$$S=\left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi,\, \frac{7\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{11\pi}{6}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\right\}.$$