Questions de théorie
Ces questions sont destinées à vous faire revoir la théorie de ce chapitre.
Donnez l'ensemble des solutions de l'équation $\sin{x}=c$, où $c\in [-1,1]$.
La réponse se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.1.
Soit $\alpha$ une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles supplémentaires ont même sinus. Donc, si $\alpha$ est une solution, alors l'ensemble des solutions est
$$S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = (\pi - \alpha)+2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.$$
Donnez l'ensemble des solutions de l'équation $\cos{x}=c$, où $c\in [-1,1]$.
La réponse se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.1.
Soit $\alpha$ une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles opposés ont même cosinus. Donc, si $\alpha$ est une solution, alors l'ensemble des solutions est
$$S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = - \alpha +2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.$$
Donnez l'ensemble des solutions de l'équation $\mbox{tg }x=c$, où $c\in\mathbb{R}$.
La réponse se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.1.
Soit $\alpha$ une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles anti-supplémentaires ont même tangente. Donc, si $\alpha$ est une solution, alors l'ensemble des solutions est
$$S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = (\pi +\alpha) +2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}$$
ou encore
$$S=\{ x~: x= \alpha + k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.$$
Donnez l'ensemble des solutions de l'équation $\sin{x}=\sin{\alpha}$.
La réponse se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.2.
Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont le même sinus s'ils sont égaux (à $2k\pi$-près) ou s'ils sont supplémentaires (à $2k\pi$-près). L'ensemble des solutions est donc
$$S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = (\pi - \alpha)+2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.$$
Donnez l'ensemble des solutions de l'équation $\cos{x}=\cos{\alpha}$.
La réponse se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.2.
Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont le même cosinus s'ils sont égaux (à $2k\pi$-près) ou s'ils sont opposés (à $2k\pi$-près). L'ensemble des solutions est donc
$$S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = - \alpha+2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.$$
Donnez l'ensemble des solutions de l'équation $\mbox{tg }x=\mbox{tg }\alpha$.
La réponse se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.2.
Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont la même tangente s'ils sont égaux (à $2k\pi$-près) ou s'ils sont anti-supplémentaires (à $2k\pi$-près). L'ensemble des solutions est donc
$$S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = (\pi +\alpha) +2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}$$
c'est-à-dire
$$S= \{ x~: x= \alpha + k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.$$
Comment résoud-on une équation trigonométrique du second degré ?
L'explication se trouve dans le syllabus, chapitre 4, section 3.3.
Dans le cas d'une équation du second degré, on commencera par faire un changement de variable pour se ramener à une équation du second degré classique que l'on résoud. On est alors ramené à une équation fondamentale ou élémentaire.