LBARC 1143 Mathématique Géométrie Chapitre 4 : Trigonométrie Nombres trigonométriques Exercices pour s'entraîner

Exercices pour s’entraîner

Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.

  1. Si $\beta$ est un angle aigu et $\sin{\beta}=\frac{2}{5}$, calculez les autres nombres trigonométriques.

    Représentez la situation par un triangle rectangle dont le côté opposé à $\beta$ vaut $2$ et l'hypoténuse vaut $5$.

    On peut représenter la situation par un triangle rectangle dont le côté opposé à $\beta$ vaut $2$ et l'hypoténuse vaut $5$.  Le côté adjacent à $\beta$ vaut donc $x=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$.  On en déduit

    $\sin{\beta}=\dfrac{2}{5}$

    $\cos{\beta}=\dfrac{\sqrt{21}}{5}$

    $\mbox{tg }\beta=\dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\dfrac{2}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}$

    $\mbox{cotg }\beta=\dfrac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}$

  2. A l'aide des formules trigonométriques, calculez $\sin{(\frac{7\pi}{12})}$ et $\cos{(75^{\circ})}$.

    $\bullet\, $ Ecrivez les angles $\frac{7\pi}{12}$ et $75^{\circ}$ comme somme ou différence d'angles connus.

    $\bullet\, $ Utilisez ensuite les formules d'addition.

    On a $\frac{7\pi}{12}=\frac{4\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$ et donc

    $$\begin{array}{rcl} \sin{(\frac{7\pi}{12})}=\sin{(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})}&=&\sin{(\frac{\pi}{3})}\cos{(\frac{\pi}{4})}+\sin{(\frac{\pi}{4})}\cos{(\frac{\pi}{3})}\\ &=&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\\ &=&\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4} \end{array}$$

    et  $75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}$ et donc

    $$\begin{array}{rcl} \cos{75^{\circ}}=\cos{(45^{\circ}+30^{\circ})}&=&\cos{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}}-\sin{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}}\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\\ &=&\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4} \end{array}$$

  3. En utilisant la valeur de $\cos{(\frac{\pi}{12})}$, donnez les valeurs de $\cos{(\frac{11\pi}{12})}$, $\cos{(\frac{13\pi}{12})}$ et $\sin{(\frac{5\pi}{12})}$.

    Calculez $\cos{(\frac{\pi}{12})}$ à l'aide des formules d'addition puis utilisez les formules pour vous ramener à $\cos{(\frac{\pi}{12})}$.

    On a $\frac{\pi}{12}=\frac{4\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$ et donc

    $$\begin{array}{rcl} \cos{(\frac{\pi}{12})}=\cos{(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})}&=&\cos{(\frac{\pi}{3})}\cos{(\frac{\pi}{4})}+\sin{(\frac{\pi}{3})}\sin{(\frac{\pi}{4})}\\ &=&\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4} \end{array}$$

    Or  $\cos{(\frac{11\pi}{12})}=\cos{(\pi-\frac{\pi}{12})}=-\cos{(\frac{\pi}{12})}$ et donc $\cos{(\frac{11\pi}{12})}=-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}$,

    $\cos{(\frac{13\pi}{12})}=\cos{(\pi+\frac{\pi}{12})}=-\cos{(\frac{\pi}{12})}$ et donc $\cos{(\frac{13\pi}{12})}=-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}$,

    $\sin{(\frac{5\pi}{12})}=\cos{(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12})}=\cos{(\frac{6\pi}{12}-\frac{5\pi}{12})}=\cos{(\frac{\pi}{12})}$ et donc $\sin{(\frac{5\pi}{12})}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}$.

  4. A l'aide des formules de duplication, calculez $\cos{(\frac{2\pi}{3})}$ et $\sin{(\frac{2\pi}{3})}$.

    Utilisez les formules de duplication pour l'angle $\frac{\pi}{3}$.

    On a $\cos{(\frac{2\pi}{3})}=\cos^2{(\frac{\pi}{3})}-\sin^2{(\frac{\pi}{3})}=(\frac{1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

    et $\sin{(\frac{2\pi}{3})}=2\sin{(\frac{\pi}{3})}\cos{(\frac{\pi}{3})}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.