Exercices résolus

La particularité du papier au format $A_n$ est qu'en coupant sa longueur en deux parties égales on retrouve deux rectangles égaux de format $A_{n+1}$.

Si le rectangle initial a pour longueur $L$ et pour largeur $l$, après un découpage on obtient deux rectangles de longueur $l$ et largeur $\frac{L}{2}$. Pour qu'ils aient la même forme que le rectangle initial, il faut que $$ k=\dfrac{L}{l}=\dfrac{l}{\frac{L}{2}} $$ ou encore que $k=\frac{2}{k}$, c'est-à-dire $k^2=2$ et donc $k=\sqrt{2}$.

Comme le format $A_0$ est choisit pour avoir une surface d'un mètre carré, on en déduit que les dimensions du papier de format $A_3$ vérifient le système $$ \left\{ \begin{array}{l} L\cdot l=1\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\ \frac{L}{l}=\sqrt{2} \end{array} \right. $$c'est-à-dire $$ \left\{ \begin{array}{l} L\cdot l=\frac{1}{8}\\ \frac{L}{l}=\sqrt{2} \end{array} \right. $$ On obtient $$ L\cdot l=\dfrac{1}{8} $$ $$ \sqrt{2}\, l^2=\dfrac{1}{8} $$ $$ l^2=\dfrac{1}{2^3}\cdot\dfrac{1}{2^{1/2}}=\dfrac{1}{2^{7/2}}=2^{-7/2} $$ $$ l=\left(2^{-7/2}\right)^{1/2}=2^{-7/4} $$et donc $L=\sqrt{2}\, l=2^{1/2}\cdot 2^{-7/4}=2^{-5/4}$.

Les dimensions du format $A_3$ sont donc $L=2^{-5/4}\simeq 0,42$ mètres et $l=2^{-7/4}\simeq 0,2973$ mètres.

Soit $x$= base et $y$= hauteur du triangle. Son aire vaut $\dfrac{xy}{2}$.

Si base = $2x$ et hauteur = $2y$ alors l'aire vaut $\dfrac{4xy}{2}=4\cdot\dfrac{xy}{2}$.

Donc l'aire est multipliée par $4$.