Questions d'examen
Voici quelques questions qui ont été posées lors d'anciens examens et qui concernent ce chapitre.
Soit $O=(0,0,0)$, $A=(6,0,-2)$ et $B=(-4,1,2)$.
Calculez la hauteur d'une pyramide dont le volume est égal à $28$ et dont la base est le parallélogramme $OACB$.
L'aire de la base est donnée par \begin{array}{rcl} b&=&\Vert\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\Vert=\Vert(6,0,-2)\times(-4,1,2)\Vert\\ &=&\Vert(2,-4,6)\Vert=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}. \end{array}
Vu que le volume $v=28=\frac{bh}{3}$, on en déduit la hauteur
$$h=\frac{3v}{b}=\frac{3\cdot 28}{\sqrt{56}}=\frac{3\cdot\sqrt{2}\sqrt{14}\sqrt{28}}{\sqrt{2}\sqrt{28}}=3\sqrt{14}.$$
Que faut-il faire pour doubler le volume d'un tétraèdre régulier ? Que devient alors sa surface totale ?
Un tétraèdre régulier est constitué de 4 triangles équilatéraux de côté $c$. La réponse demandée concerne donc la longueur du côté $c$.
Si $h$ est la hauteur d'une face et $H$ la hauteur du tétraèdre, on a par Pythagore
\begin{array}{c} h^2+(\frac{c}{2})^2=c^2\\ h^2=c^2-\frac{c^2}{4}=\frac{3}{4}\cdot c^2\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot c \end{array}
et
\begin{array}{c} H^2+(\frac{2}{3}\cdot h)^2=c^2\\ H^2=c^2-\frac{4}{9}\cdot h^2=c^2-\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{4}\cdot c^2=\frac{6}{9}\cdot c^2=\frac{2}{3}\cdot c^2\\ H=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot c. \end{array}
Le volume du tétraèdre est donné par
$$V=\dfrac{c\cdot h}{2}\cdot H\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{c\cdot h\cdot H}{6}$$
et donc
$$V=\frac{1}{6}\cdot c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot c\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot c=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot c^3.$$
Pour doubler le volume :
$$V'=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot (c')^3$$
avec $V'=2V$. On en déduit
$$\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot (c')^3=2\left(\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot c^3\right)=\frac{\sqrt{2}}{12}(\sqrt[3]{2}\cdot c)^3$$
et donc $c'=\sqrt[3]{2}\cdot c$. Il faut donc multiplier le côté par $\sqrt[3]{2}$.
La surface totale est donnée par $A=4\cdot\frac{c\cdot h}{2}=2\cdot c\cdot h=2\cdot c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot c=\sqrt{3}\cdot c^2$.
Si le côté est multiplié par $\sqrt[3]{2}$, cette surface devient
$$A'=\sqrt{3}\cdot (c')^2=\sqrt{3}(\sqrt[3]{2}\cdot c)^2=\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot c^2=\sqrt[3]{4}\cdot A.$$
La surface est donc multipliée par $\sqrt[3]{4}$.