Exercices pour s’entraîner
Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.
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Donnez les distances entre les points $(1,4,-1)$ et $(0,3,-2)$.
La distance entre deux points $A=(a,b,c)$ et $B=(x,y,z)$ est donnée par la formule
$$d(A,B)= \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2+(z-c)^2}.$$
$d=\sqrt{(1-0)^2+(4-3)^2+(-1-(-2))^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$.
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Déterminez la distance du point $(5,-2,3)$ à l'origine.
La distance du point $A=(a,b,c)$ à l'origine est donnée par la formule
$$d(A,O)= \sqrt{a^2 + b^2+c^2}.$$
$d= \sqrt{5^2 +(-2)^2+3^2}=\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38}$.
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Dans un repère orthonormé dont l'unité est le centimètre, calculez $b$ pour que le point $(4,b,2)$ soit à 5 cm du point $(4,3,-2)$.
La distance entre deux points $A=(a,b,c)$ et $B=(x,y,z)$ est donnée par la formule
$$d(A,B)= \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2+(z-c)^2}.$$
On a $d=\sqrt{(4-4)^2+(3-b)^2+(-2-2)^2}$. Il faut donc trouver $b$ pour que $\sqrt{(4-4)^2+(3-b)^2+(-2-2)^2}=5$.
On obtient
$$\sqrt{(3-b)^2+(-4)^2}=5$$
$$(3-b)^2+16=25$$
$$(3-b)^2=9$$
$$3-b=\pm 3$$
Donc $b=0$ ou $b=6$.