Exercices pour s’entraîner
Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.
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Exprimez les points suivants en coordonnées polaires :
$\bullet\, (0,4)$
$\bullet\, (-2,2\sqrt{3})$
On a $r =\sqrt{x^2 + y^2 }.$
Pour $\theta$, on a
$$ \left\{ \begin{array}{rl} \theta =\frac{\pi}{2}&\mbox{si }x = 0,\, y > 0\\ \theta=\frac{3\pi}{2}&\mbox{si }x = 0,\, y< 0\\ \mbox{tg }\theta=\frac{y}{x}&\mbox{si }x \neq 0 \end{array} \right. $$
La dernière égalité nous permet de trouver $\theta$ selon les signes de $x$ et $y$.
$\bullet\, P=(0,4)$ d'où $x=0$ et $y=4>0$.
On en déduit $r=\sqrt{0^2+4^2}=4$ et $\theta=\frac{\pi}{2}$ ou $\frac{3\pi}{2}$.
Comme $y>0$, on prend $\theta=\frac{\pi}{2}$.
$\bullet\, P=(-2,2\sqrt{3})$ d'où $x=-2<0$ et $y=2\sqrt{3}>0$.
On en déduit $r=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$ et $\mbox{tg }{\theta}=\frac{2\sqrt{3}}{-2}=-\sqrt{3}$.
Donc $\theta=\frac{2\pi}{3}$ ou $\frac{5\pi}{3}$.
Comme $y>0$, on prend $\theta=\frac{2\pi}{3}$.
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Exprimez les points suivants en coordonnées cartésiennes :
$\bullet\, r=4$; $\theta=\frac{5\pi}{4}$
$\bullet\, r=6$; $\theta=\frac{5\pi}{6}$
On a $$\left\{ \begin{array}{l} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta \end{array}\right. $$
$\bullet\, r=4$; $\theta=\frac{5\pi}{4}$ d'où
$x=4\cos{\frac{5\pi}{4}}=-4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$,
$y=4\sin{\frac{5\pi}{4}}=-4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$.
On en déduit que $P=(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$.
$\bullet\, r=6$; $\theta=\frac{5\pi}{6}$ d'où
$x=6\cos{\frac{5\pi}{6}}=6\cdot\frac{-\sqrt{3}}{2}=-3\sqrt{3}$,
$y=6\sin{\frac{5\pi}{6}}=6\cdot\frac{1}{2}=3$.
On en déduit que $P=(-3\sqrt{3},3)$.
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Donnez les distances entre les points suivants :
$\bullet\, (3,2)$ et $(-2,5)$
$\bullet\, (3,1)$ et l'origine
La distance entre deux points $A=(a,b)$ et $B=(c,d)$ est donnée par la formule
$$d(A,B)= \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2}.$$
$\bullet\, d=\sqrt{(3-(-2))^2+(2-5)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
$\bullet\, d=\sqrt{(3-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$
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On considère le point $P$ situé sur le cercle de centre $O=(0,0)$ et de rayon $6$ et faisant un angle de $\frac{2\pi}{3}$ avec l'axe $OX$. Déterminez les projections orthogonales de $P$ sur les axes $OX$ et $OY$.
Les projections orthogonales de $P$ sur les axes $OX$ et $OY$ sont les coordonnées cartésiennes du point $P$.
$r=6$; $\theta=\frac{2\pi}{3}$ d'où
$x=6\cos{\frac{2\pi}{3}}=-6\cdot\frac{1}{2}=-3$,
$y=6\sin{\frac{2\pi}{3}}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.
On en déduit que $P=(-3,3\sqrt{3})$.