Exercices pour s’entraîner
Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.
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L'intensité et la direction d'une force constante sont donnés par le vecteur $\vec{F}=(4,5,1)$.
Calculez le travail effectué par cette force si son point d'application se déplace de $A=(1,-1,2)$ jusque $B=(2,3,-1)$.
Le travail $W$ d'une force d'intensité constante $\overrightarrow{F}$ appliquée à un point en mouvement le long d'un vecteur $\overrightarrow{d}$ est $W=\overrightarrow{F}\odot\overrightarrow{d}$.
Le déplacement est donné par $\overrightarrow{AB}=(1,4,-3)$ et la force par $\vec{F}=(4,5,1)$.
On en déduit le travail $$W=\overrightarrow{AB}\odot\vec{F}=4+20-3=21\mbox{ Joules}.$$
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Un bloc est tiré avec une force de 200 N faisant un angle de $45^{\circ}$ avec l'horizontale. Trouvez le travail effectué pour déplacer le bloc sur une distance de 20 m.
Le travail $W$ d'une force d'intensité constante $\overrightarrow{F}$ appliquée à un point en mouvement le long d'un vecteur $\overrightarrow{d}$ est $W=\overrightarrow{F}\odot\overrightarrow{d}$.
On a $\Vert\vec F\Vert=200$, $\vec d=(20,0)$ et $$\vec F=(200\cos 45^{\circ},200\sin 45^{\circ})=\left(\dfrac{200\sqrt{2}}{2},\dfrac{200\sqrt{2}}{2}\right)=(100\sqrt{2},100\sqrt{2}).$$
On en déduit le travail $W=\vec F\odot\vec d=2000\sqrt{2}$ Joules.
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Calculez la résultante des force $P=30$ N et $Q=50$ N appliquées au boulon A si ces forces forment un angle de respectivement $45^{\circ}$ et $60^{\circ}$ avec l'horizontale. Précisez son intensité et sa direction.
La résultante de deux force est la somme de ces forces.
On a $\Vert\vec P\Vert=30$, $\Vert\vec Q\Vert=50$, $$\vec P=(30\cos 45^{\circ},30\sin 45^{\circ})=\left(\dfrac{30\sqrt{2}}{2},\dfrac{30\sqrt{2}}{2}\right)=(15\sqrt{2},15\sqrt{2})$$ et $$\vec Q=(50\cos 60^{\circ},50\sin 60^{\circ})=\left(\dfrac{50}{2},\dfrac{50\sqrt{3}}{2}\right)=(25,25\sqrt{3}).$$
La résultante est donnée par $$\vec R=\vec P+\vec Q=(15\sqrt{2},15\sqrt{2})+(25,25\sqrt{3})=(25+15\sqrt{2},15\sqrt{2}+25\sqrt{3})$$ et $$ \begin{array}{rcl} \Vert\vec R\Vert&=&\sqrt{(25+15\sqrt{2})^2+(15\sqrt{2}+25\sqrt{3})^2}\\ &=&\sqrt{625+450+375\sqrt{2}+450+1875+375\sqrt{6}}\\ &=&\sqrt{3400+375(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\sqrt{4848,89}\simeq 69,63. \end{array} $$
L'angle que fait $\vec R$ avec l'horizontale est donné par $$\mbox{tg }\alpha=\dfrac{15\sqrt{2}+25\sqrt{3}}{25+15\sqrt{2}}$$ et donc $\alpha \simeq 54^{\circ}$.
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Une main exerce une force $\vec{F}$ de $80$ N sur une clef de $20$ cm de long. Quel sera le moment de serrage sur la vis si la main est inclinée à $60^{\circ}$ ?
Le moment d'une force $\overrightarrow{F}$ appliquée en un point $A$, par rapport à un point $P$ est le produit vectoriel entre le vecteur position de cette force par rapport au point de référence et le vecteur force lui-même, soit
$$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow{F}.$$
On a $\Vert\overrightarrow{PA}\Vert=20\mbox{ cm}=0,2\mbox{ m}$ et $\Vert\overrightarrow{F}\Vert=80\mbox{ N}$. On en déduit $$M=\Vert\overrightarrow{PA}\Vert\, \Vert\overrightarrow{F}\Vert\, \sin{\alpha}=0,2\cdot 80\cdot\sin{60^{\circ}}=16\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}\mbox{ N.m}.$$