Exercices pour s’entraîner

Le vecteur $\vec v$ peut s'écrire $\vec v=(\Vert\vec v\Vert\cos\alpha,\Vert\vec v\Vert\sin\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle entre le vecteur et l'axe $OX$.  Ici, on a $\vec v=(4\cos 120^\circ,4\sin 120^\circ)=(-\frac{4}{2},\frac{4\sqrt{3}}{2})=(-2,2\sqrt{3})$.

La composante horizontale est $-2$ et la composante verticale est $2\sqrt{3}$.

Les équations de changement de repère sont $$ \left\{ \begin{array}{l} x = 4+ x' \\ y = -2 + y' \\ z = 7 + z' \end{array} \right. $$

Les équations de changement de repère sont $$ \left\{ \begin{array}{l} x = 2+ x' \\ y = 3 + y' \\ z = -5 + z' \end{array} \right. $$ Après translation du repère les coordonnées de $P$ sont donc $(x',y',z')=(4,-4,7)$.

Les équations de changement de repère sont $$ \left\{ \begin{array}{l} x = 1+ x' \\ y = -4 + y' \\ z = 3 + z' \end{array} \right. $$  On remplace dans l'équation

$$(x'+1)^2+(y'-4)^2+(z'+3)^2-2(x'+1)+8(y'-4)-6(z'+3)=10$$

$$(x')^2+1+2x'+(y')^2+16-8y'+(z')^2+9+6z'-2x'-2+8y'-32-6z'-18=10$$

$$(x')^2+(y')^2+(z')^2=36$$

Les équations de changement de repère sont $$ \left\{ \begin{array}{l} x = x' \\ y = 4 + y' \\ z = -1 + z' \end{array} \right. $$  On remplace dans l'équation

$$(x')^2+(z'-1)^2=3$$

$$(x')^2+(z')^2+1-2z'=3$$

$$(x')^2+(z')^2-2z'=2$$

Les équations de changement de repère sont $$ \left\{ \begin{array}{l} x =a+ x' \\ y = b + y' \\ z = c+ z' \end{array} \right. $$  On remplace dans l'équation

$$(a+x')^2+(b+y')^2+(c+z')^2-6(a+x')+2(b+y')=6$$

$$a^2+(x')^2+2ax'+b^2+(y')^2+2by'+c^2+(z')^2+2cz'-6a-6x'+2b+2y'=6$$

Pour qu'il n'y ait plus de termes du premier degré, il faut que $2a-6=0$, $2b+2=0$ et $2c=0$.  Il faut donc translater vers le point $(3,-1,0)$.

Après cette translation, l'équation devient $$(x')^2+(y')^2+(z')^2=16.$$

Les équations de changement de repère sont $$ \left\{ \begin{array}{l} x =x'\cos \frac{\pi}{6}-y' \sin \frac{\pi}{6} \\ y = x'\sin \frac{\pi}{6}+y'\cos \frac{\pi}{6}\\ z =z'\end{array} \right. $$

Pour trouver les nouvelles coordonnées du point $P$, il faut résoudre le système $$ \left\{ \begin{array}{l} 0 =\frac{\sqrt{3}}{2}\, x'-\frac{1}{2}\, y' \\ -4 =\frac{1}{2}\, x'+\frac{\sqrt{3}}{2}\, y'\\ 5 =z'\end{array} \right. $$

De la première équation, on tire $y'=\sqrt{3}x'$.  En remplaçant dans la deuxième équation, on obtient $2x'=-4$ et donc $x'=-2$, d'où $y'=-2\sqrt{3}$.

Après une rotation du repère, les coordonnées du point $P=(0,-4,5)$ deviennent donc $(x',y',z')=(-2,-2\sqrt{3},5)$.

On a

$$ \begin{array}{rcl} \vec{e'_1}& =&\cos{\frac{\pi}{3}}\, \vec e_1 + \cos(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2})\, \vec e_2+0 \, \vec e_3\\[2mm] \vec{e'_2} &=& \cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\, \vec e_1+ \cos{\frac{\pi}{3}}\, \vec e_2 +0 \, \vec e_3 \\[2mm] \vec{e'_3} &=&\vec e_3 \end{array} $$

Donc $$ \left\{ \begin{array}{rcl} \vec{e'_1}& =&\frac{1}{2}\, \vec e_1 -\frac{\sqrt{3}}{2}\, \vec e_2\\[2mm] \vec{e'_2} &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\, \vec e_1+\frac{1}{2}\, \vec e_2 \\[2mm] \vec{e'_3} &=&\vec e_3 \end{array} \right. $$

Dans le repère initial $\mathcal{R}$ : $P=(x,y,z)$ c'est-à-dire $\overrightarrow{OP}=x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3$.

Dans le nouveau repère $\mathcal{R'}$ : $P=(x',y',z')$ c'est-à-dire $\overrightarrow{OP}=x'\vec{e'_1}+y'\vec{e'_2}+z'\vec{e'_3} $.

Donc $$ \begin{array}{rcl} x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3&=&x'\vec{e'_1}+y'\vec{e'_2}+z'\vec{e'_3}\\[2mm] &=&x'(\frac{1}{2}\, \vec e_1 -\frac{\sqrt{3}}{2}\, \vec e_2)+y'(\frac{\sqrt{3}}{2}\, \vec e_1+\frac{1}{2}\, \vec e_2)+z'\, \vec e_3\\[2mm] &=&(\frac{1}{2}x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y')\, \vec{e_1}+(-\frac{\sqrt{3}}{2}x'+\frac{1}{2}y')\, \vec e_2+z'\, \vec e_3 \end{array} $$

Passage de $\mathcal{R'}$ vers $\mathcal{R}$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2}x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y'\\ y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x'+\frac{1}{2}y'\\ z=z' \end{array} \right. $$

L'équation $x^2-\sqrt{3}xy+2y^2-5=0$ devient

$$\left(\frac{1}{2}x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y'\right)^2-\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y'\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}x'+\frac{1}{2}y'\right)+2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}x'+\frac{1}{2}y'\right)^2-5=0$$

$$\frac{5}{2}(x')^2+\frac{1}{2}(y')^2=5$$

$$5(x')^2+(y')^2=10.$$