Exercices résolus
Voici quelques exemples d'exercices résolus en détails.
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Donnez les coordonnées du point $P=(2,-4,5)$ dans le repère $[(0,0,0); (-1,0,0), (0,2,0), (0,0,1)]$.
Les coordonnées d'un point s'obtiennent en prennant les coefficients des vecteurs de base. On a $P=(2,-4,5)=-2(-1,0,0)-2(0,2,0)+5(0,0,1)$. Les coordonnées de $P$ dans ce repère sont donc $(-2,-2,5)$.
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Donnez les coordonnées du point $P=(2,4,6)$ dans le repère $[(0,0,0); (-1,0,1), (0,2,0), (0,0,2)]$.
Les coordonnées d'un point s'obtiennent en prennant les coefficients des vecteurs de base. On a $P=(2,4,6)=-2(-1,0,1)+2(0,2,0)+4(0,0,2)$. Les coordonnées de $P$ dans ce repère sont donc $(-2,2,4)$.
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Que deviennent les coordonnées du point $P=(1,-3,5)$ après translation du repère vers le point $O'=(3,6,-2)$ ?
Les équations de changement de repère sont $$ \left\{ \begin{array}{l} x = 3+ x' \\ y = 6 + y' \\ z = -2 + z' \end{array} \right. $$ Après translation du repère les coordonnées de $P$ sont donc $(x',y',z')=(-2,-9,7)$.
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Que devient l'équation de la courbe représentative de la fonction $f(x)=x^2-8x+11$ si on translate l'origine du repère vers le point $(4,-5)$ ?
On a $\overrightarrow{OO'}=(4,-5)$. Soit $\overrightarrow{OP}=(x,y)$ et $\overrightarrow{O'P}=(x',y')$.
On peut écrire $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P}$$
et donc $$ \left\{ \begin{array}{l} x=4+x'\\ y=-5+y' \end{array} \right. $$
On en déduit $$y=x^2-8x+11$$
$$-5+y'=(4+x')^2-8(4+x')+11$$
$$-5+y'=16+(x')^2+8x'-32-8x'+11$$
et l'équation devient $$y'=(x')^2.$$
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Que devient l'équation $x^2-z^2=1$ si on fait une rotation du repère d'un angle $\frac{\pi}{4}$ autour de $OY$ ?
On a $$ \begin{array}{rcl} \vec{e'_1}& =&(\cos \frac{\pi}{4})\, \vec e_1+0 \, \vec e_2 + (- \sin \frac{\pi}{4})\, \vec e_3 \\[2mm] \vec{e'_2} &=&\vec e_2\\[2mm] \vec{e'_3} &=& (\sin \frac{\pi}{4})\, \vec e_1 + 0 \, \vec e_2 +(\cos \frac{\pi}{4})\, \vec e_3 \end{array} $$
Donc $$ \left\{ \begin{array}{rcl} \vec{e'_1}& =&\frac{\sqrt{2}}{2}\, \vec e_1- \frac{\sqrt{2}}{2}\, \vec e_3 \\[2mm] \vec{e'_2} &=&\vec e_2\\[2mm] \vec{e'_3} &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\, \vec e_1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\, \vec e_3\end{array} \right. $$
Dans le repère initial $\mathcal{R}$ : $P=(x,y,z)$ c'est-à-dire $\overrightarrow{OP}=x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3$.
Dans le nouveau repère $\mathcal{R'}$ : $P=(x',y',z')$ c'est-à-dire $\overrightarrow{OP}=x'\vec{e'_1}+y'\vec{e'_2}+z'\vec{e'_3} $.
Donc $$ \begin{array}{rcl} x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3&=&x'\vec{e'_1}+y'\vec{e'_2}+z'\vec{e'_3}\\[2mm] &=&x'(\frac{\sqrt{2}}{2}\, \vec e_1- \frac{\sqrt{2}}{2}\, \vec e_3)+y'\vec e_2+z'(\frac{\sqrt{2}}{2}\, \vec e_1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\, \vec e_3)\\[2mm] &=&(\frac{\sqrt{2}}{2}\, x'+\frac{\sqrt{2}}{2}\, z')\, \vec e_1+y'\, \vec e_2+(-\frac{\sqrt{2}}{2}\, x'+\frac{\sqrt{2}}{2}\, z')\, \vec e_3 \end{array} $$
Passage de $\mathcal{R'}$ vers $\mathcal{R}$ :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x =\frac{\sqrt{2}}{2}\, x'+\frac{\sqrt{2}}{2}\, z' \\ y = y'\\ z = -\frac{\sqrt{2}}{2}\, x'+\frac{\sqrt{2}}{2}\, z'\end{array} \right. $$On remplace dans l'équation : $$x^2-z^2=1$$
$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\, x'+\frac{\sqrt{2}}{2}\, z'\right)^2-\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}\, x'+\frac{\sqrt{2}}{2}\, z'\right)^2=1$$
$$\frac{1}{2}(x')^2+\frac{1}{2}(z')^2+x'z'-\frac{1}{2}(x')^2-\frac{1}{2}(z')^2+x'z'=1$$
et on obtient $2x'z'=1$.
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Que deviennent les coordonnées du point $P=(3,2,0)$ après une rotation du repère d'un angle de $\frac{\pi}{4}$ autour de $OX$ ?
Les équations de changement de repère sont $$ \left\{ \begin{array}{l} x =x' \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2}\, y'-\frac{\sqrt{2}}{2}\, z'\\ z = \frac{\sqrt{2}}{2}\, y'+\frac{\sqrt{2}}{2}\, z'\end{array} \right. $$
Pour trouver les nouvelles coordonnées du point $P$, il faut résoudre le système $$ \left\{ \begin{array}{l} 3=x' \\ 2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\, y'-\frac{\sqrt{2}}{2}\, z'\\ 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\, y'+\frac{\sqrt{2}}{2}\, z'\end{array} \right. $$
De la dernière équation, on tire $z'=-y'$. En remplaçant dans la deuxième équation, on obtient $\sqrt{2}\, y'=2$ et donc $y'=\sqrt{2}$, d'où $z'=-\sqrt{2}$.
Après une rotation du repère, les coordonnées du point $P=(3,2,0)$ deviennent donc $(x',y',z')=(3,\sqrt{2},-\sqrt{2})$.