Exercices pour s’entraîner
Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.
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Les points $(2,5)$, $(0,-4)$ et $(4,8)$ appartiennent-ils à la droite $D : y=3x-4$ ?
Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.
On a
$\bullet\, (2,5)\not\in D$. En effet, quand on remplace $x$ par $2$ et $y$ par $5$ dans l'équation de $D$, celle-ci n'est pas vérifiée puisque $5\neq 3\cdot 2-4$;
$\bullet\, (0,-4)\in D$ car $-4=3\cdot 0-4$;
$\bullet\, (4,8)\in D$ car $8=3\cdot 4-4$.
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Les points $(5,5)$ et $(5,10)$ appartiennent-ils à la droite passant par $(3,-2)$ et $(4,4)$ ?
Ecrivez l'équation de la droite passant par $(3,-2)$ et $(4,4)$ et vérifiez ensuite si les deux autres points appartiennent à cette droite.
La droite passant par $(3,-2)$ et $(4,4)$ a pour équation
$$y-4=\dfrac{-2-4}{3-4}(x-4)$$
c'est-à-dire $y=6x-24+4$ et donc $D : y=6x-20$.
On a
$\bullet\, (5,5)\not\in D$ car $5\neq 6\cdot 5-20$;
$\bullet\, (5,10)\in D$ car $10=6\cdot 5-20$.
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Donnez l'équation cartésienne de la droite $\Delta$ parallèle à $3x+y+5=0$ et passant par $(2,-7)$.
Deux droites parallèles ont même pente.
La pente de la droite donnée vaut $-3$. La droite $\Delta$ étant parallèle a aussi une pente $-3$. L'équation de la droite de pente $-3$ passant par le point $(2,-7)$ est
$$y-(-7)=-3(x-2),$$
$$y=-3x+6-7.$$
La droite $\Delta$ a donc pour équation $y=-3x-1$.
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Donnez l'équation de la médiatrice du segment joignant les points $(2,5)$ et $(4,7)$.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au milieu du segment.
La médiatrice est la droite perpendiculaire au milieu du segment. La pente de la droite joignant les deux points vaut $\dfrac{7-5}{4-2}=1$ et donc la pente de la médiatrice vaut $-1$.
Le milieu du segment joignant les deux points est le point $\frac{1}{2}(6,12)=(3,6)$.
L'équation de la droite de pente $-1$ passant par le point $(3,6)$ est
$$y-6=-1(x-3),$$
$$y=-x+3+6.$$
La médiatrice du segment a donc pour équation $y=-x+9$.
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Soit $ABC$ un triangle avec $A=(1,2)$, $B=(4,4)$ et $C=(4,3)$.
Donnez les équations des côtés de ce triangle.
On utilisera la formule qui permet d'écrire l'équation d'une droite quand on connaît deux de ses points.
Le côté $AB$ passe par $A=(1,2)$ et $B=(4,4)$. On obtient
$$y-4=\frac{2-4}{1-4}(x-4)$$
$$y-4=\dfrac{2}{3}(x-4)$$
$$y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{8}{3}+4$$
$$y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$$
L'équation du côté $AB$ est donc $2x-3y+4=0$.
Le côté $BC$ passe par $B=(4,4)$ et $C=(4,3)$. Il s'agit d'une droite verticale. L'équation du côté $BC$ est donc $x=4$.
Le côté $AC$ passe par $A=(1,2)$ et $C=(4,3)$. On obtient
$$y-3=\frac{2-3}{1-4}(x-4)$$
$$y-3=\dfrac{1}{3}(x-4)$$
$$y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{3}+3$$
$$y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3}$$
L'équation du côté $AC$ est donc $x-3y+5=0$.
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Soit $ABC$ un triangle avec $A=(1,2)$, $B=(4,4)$ et $C=(4,3)$.
Donnez les équations des médianes de ce triangle et déterminez son centre de gravité.
Une médiane d'un triangle est la droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes.
Soit $M$ le milieu de $BC$ d'où $M=(4,\frac{7}{2})$. La médiane $AM$ passe par $A=(1,2)$ et $M=(4,\frac{7}{2})$. On obtient
$$y-\dfrac{7}{2}=\frac{2-\frac{7}{2}}{1-4}(x-4)$$
$$y=-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{-3}(x-4)+\dfrac{7}{2}$$
$$y=\dfrac{1}{2}(x-4)+\dfrac{7}{2}$$
$$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{4}{2}+\dfrac{7}{2}$$
$$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$$
L'équation de la médiane $AM$ est donc $x-2y+3=0$.
Soit $N$ le milieu de $AB$ d'où $N=(\frac{5}{2},3)$. La médiane $CN$ passe par $C=(4,3)$ et $N=(\frac{5}{2},3)$. Il s'agit d'une droite horizontale. L'équation de la médiane $CN$ est donc $y=3$.
Soit $P$ le milieu de $AC$ d'où $P=(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$. La médiane $BP$ passe par $B=(4,4)$ et $P=(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$. L'équation de la médiane $BP$ est donc $y=x$.
Le centre de gravité est l'intersection des médianes. Il s'obtient en résolvant le système $$ \left\{ \begin{array}{l} x-2y+3=0\\ y=3\\ y=x \end{array} \right. $$
Il s'agit donc du point $(3,3)$.
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Soit $ABC$ un triangle avec $A=(1,2)$, $B=(4,4)$ et $C=(4,3)$.
Donnez les équations des hauteurs de ce triangle et déterminez son hortocentre.
Une hauteur d'un triangle est la droite qui passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.
L'orthocentre d'un triangle est le point d'intersection de ses hauteurs.
La hauteur passant par $A=(1,2)$ et perpendiculaire à $BC$ a pour pente $m=0$. Son équation est donc $y=2$.
La hauteur passant par $B=(4,4)$ et perpendicualire à $AC$ a pour pente $m=-\dfrac{1}{\frac{3-2}{4-1}}=-3$. On obtient
$$y-4=-3(x-4)$$
$$y=-3x+12+4$$
Son équation est donc $y=-3x+16$.
La hauteur passant par $C=(4,3)$ et perpendicualire à $AB$ a pour pente $m=-\dfrac{1}{\frac{4-2}{4-1}}=-\dfrac{3}{2}$. On obtient
$$y-3=-\dfrac{3}{2}(x-4)$$
$$y=-\dfrac{3}{2}x+6+3$$
$$y=-\dfrac{3}{2}x+9$$
Son équation est donc $2y+3x-18=0$.
L'orthocentre est l'intersection des hauteurs. Il s'obtient en résolvant le système
$$ \left\{ \begin{array}{l} y=2\\ y=-3x+16\\ 2y+3x-18=0 \end{array} \right. $$Si $y=2$ alors $3x=16-2$ donc $3x=14$ et $x=\frac{14}{3}$.
Il s'agit donc du point $(\frac{14}{3},2)$.
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On donne $A=(1,3)$, $B=(3,7)$ et $C=(k,2)$ trois points de $\mathbb{R}^2$.
Trouvez $k$ pour que la droite passant par $A$ et $C$ soit perpendiculaire à celle passant par $A$ et $B$.
La pente de la droite passant par $P_1=(x_1,y_1)$ et $P_2=(x_2,y_2)$ est $ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$
Le produit des pentes de deux droites perpendiculaires vaut $-1$.
La pente de $AC$ vaut $\dfrac{2-3}{k-1}=\dfrac{-1}{k-1}$ et celle de $AB$ vaut $\dfrac{7-3}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$.
Les droites $AB$ et $AC$ sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut $-1$, c'est-à-dire si
$$\dfrac{-1}{k-1}\cdot 2=-1$$
$$\dfrac{-1}{k-1}=-\dfrac{1}{2}$$
d'où $k-1=2$ et $k=3$.