Questions de théorie
Ces questions sont destinées à vous faire revoir la théorie de ce chapitre.
Définissez un vecteur directeur d'une droite.
La définition se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.1.
Soient $P_1=(x_1,y_1)$ et $P_2=(x_2,y_2)$ deux points distincts du plan $\mathbb{R}^2$. La direction de la droite $P_1P_2$ est donnée par le vecteur $\overrightarrow{P_1P_2}$, appelé vecteur directeur de la droite.
Donnez l'équation vectorielle d'une droite.
Le point $P$ appartient à la droite $P_1P_2$ si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{P_1P}$ est un multiple du vecteur $\overrightarrow{P_1P_2}$.
Le point $P$ appartient à la droite $P_1P_2$ si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{P_1P}$ est un multiple du vecteur $\overrightarrow{P_1P_2}$, c'est-à-dire si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{P_1P}=k\, \overrightarrow{P_1P_2}$.
L'équation vectorielle de la droite $P_1P_2$ est donnée par $\overrightarrow{P_1P}=k\, \overrightarrow{P_1P_2}$ où $k\in\mathbb{R}$.
Donnez les équations paramétriques d'une droite.
En introduisant les coordonnées des points dans l'équation vectorielle, on obtient les équations paramétriques.
En introduisant les coordonnées des points dans l'équation vectorielle, on obtient les équations paramétriques de la droite $P_1P_2$.
Comme $\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ et $\overrightarrow{P_1P}=(x-x_1,y-y_1)$, on a $$ \left\{ \begin{array}{c} x-x_1=k(x_2-x_1) \\ y-y_1=k(y_2-y_1) \end{array} \right. $$
avec $k\in\mathbb{R}$.
Définissez ordonnée à l'origine et pente d'une droite.
Les définitions se trouvent dans le syllabus, chapitre 9, section 2.2.
L'ordonnée à l'origine $p$ d'une droite est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe $OY$. Le point $(0,p)$ appartient donc à la droite.
La pente de la droite est l'augmentation de l'ordonnée correspondant à une augmentation unitaire de l'abscisse.
Quand une droite est-elle croissante ? décroissante ? horizontale ?
L'explication se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.2.
Considérons la droite $y=mx+p$ de pente $m$.
Si $m>0$ alors la droite est croissante, si $m<0$ alors la droite est décroissante, si $m=0$ alors la droite est horizontale.
Donnez la pente d'une droite en termes d'accroissements en $x$ et $y$.
L'explication se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.2.
Considérons la droite $y=mx+p$ de pente $m$.
Si en déplaçant un point sur la droite on augmente son abscisse de $1$, son ordonnée augmentera de $m$ (positif ou négatif).
Si en déplaçant un point sur la droite on augmente son abscisse de $\Delta x$, son ordonnée augmentera de $\Delta y = m\cdot \Delta x$. Donc $\displaystyle m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$.
Comment dessiner une droite si on connaît son ordonnée à l'origine et sa pente ?
L'explication se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.2.
Pour représenter la droite $y=m x+p$ de pente $m$ et d'ordonnée à l'origine $p$, on place le point $(0,p)$. Partant de ce point, on avance d'une unité vers la droite, puis on monte (si $m> 0$) ou on descend (si $m< 0$) d'une longueur $m$. On obtient ainsi un deuxième point. Il ne reste plus qu'à joindre ces deux points.
Définissez le coefficient angulaire d'une droite.
La définition se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.2.
Ayant choisi un système d'axes perpendiculaires avec des unités de même longueur, on a $m= \mbox{tg} \, \alpha,$ où $\alpha$ est l'angle entre l'axe des $x$ positif et la droite, dans le sens trigonométrique. Dans ce cas, la pente est aussi appelée coefficient angulaire de la droite.
Etablissez l'équation cartésienne d'une droite de pente $m$ passant par le point $(x_1,y_1)$.
La démonstration se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.2.
Soit $y=mx+p$ une droite de pente $m$ et passant par le point $(x_1,y_1)$.
Puisque $(x_1,y_1)$ vérifie l'équation de la droite, on a $y_1 = m x_1 + p$. On en déduit la valeur du paramètre $p = y_1 - m x_1$. L'équation devient alors $y= mx+y_1-mx_1$.
L'équation cartésienne de la droite de pente $m$ passant par le point $(x_1,y_1)$ est donnée par $$y-y_1 = m (x-x_1).$$
Etablissez l'équation cartésienne d'une droite passant par les points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$.
La démonstration se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.2.
Soit $y=mx+y$ une droite qui contient les points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$.
L'équation de la droite $y= m x +p$ doit être satisfaite par les deux points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$. On a donc $$ \left\{\begin{array}{l} y_1 = m x_1 + p, \\y_2 = m x_2 +p. \end{array}\right. $$
En soustrayant les deux équations, on élimine le paramètre $p$. On obtient alors $$y_2-y_1 = m (x_2-x_1),$$ ou encore $$ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$
En remplaçant $m$ dans la première équation, on trouve $$p=y_1-\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1.$$
L'équation cartésienne de la droite passant par les points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ est donnée par $$y-y_1 = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1).$$
Si $ax+by=c$ est l'équation d'une droite, quand est-elle verticale ? Quelle est alors son équation ?
L'explication se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.2.
Si $b=0$ et $a\neq 0$, l'équation se réduit à $x = \frac{c}{a}$. Cette équation signifie que, quelle que soit la valeur de $y$, la valeur de $x$ est constante. Graphiquement, on a donc une droite verticale.
Si $ax+by=c$ est l'équation d'une droite, quand est-elle horizontale ? Quelle est alors son équation ?
L'explication se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.2.
Si $b\neq 0$ et $a=0$, on obtient une équation du type $y = \frac{c}{b}$. Cette équation signifie que, quelle que soit la valeur de $x$, la valeur de $y$ est constante. Graphiquement, on a donc une droite horizontale.
Comment voit-on que deux droites sont parallèles distinctes ?
L'explication se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.3.
Deux droites sont parallèles distinctes si et seulement si elles ont même vecteur directeur ou encore si elles ont la même pente ($m$) et des ordonnées à l'origine ($p$) différentes.
Comment voit-on que deux droites sont perpendiculaires ?
L'explication se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.3.
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont perpendiculaires ou encore si le produit de leur pente vaut $-1$ (ou si une des droites est verticale et l'autre horizontale).
Démontrez que deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes vaut $-1$.
Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire des vecteurs directeurs vaut $0$.
Soit $\Delta_1$ passant par $P_1=(x_1,y_1)$ et $P_3=(x_3,y_3)$ et $\Delta_2$ passant par $P_2=(x_2,y_2)$ et $P_3=(x_3,y_3)$.
Un vecteur directeur de $\Delta_1$ est $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{P_1P_3}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$ et sa pente vaut $m_1=\dfrac{y_3-y_1}{x_3-x_1}$.
Un vecteur directeur de $\Delta_2$ est $\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{P_2P_3}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ et sa pente vaut $m_2=\dfrac{y_3-y_2}{x_3-x_2}$.
On a $$ \begin{array}{rcl} \Delta_1\perp\Delta_2&\Longleftrightarrow&\overrightarrow{v_1}\perp\overrightarrow{v_2}\\ &\Longleftrightarrow&\overrightarrow{v_1}\odot\overrightarrow{v_2}=0\\ &\Longleftrightarrow&(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)=0\\ &\Longleftrightarrow&(y_3-y_1)(y_3-y_2)=-(x_3-x_1)(x_3-x_2)\\ &\Longleftrightarrow&\dfrac{y_3-y_1}{x_3-x_1}\cdot\dfrac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=-1\\ &\Longleftrightarrow&m_1\cdot m_2=-1 \end{array} $$
Donnez un exemple de deux droites parallèles, sécantes, perpendiculaires.
La définition se trouve dans le syllabus, chapitre 9, section 2.3.
Les droites $y=3x+2$ et $y=3x-1$ sont parallèles. En effet, elles sont toutes les deux de pente $3$.
Les droites $y=3x+2$ et $y=5x-1$ sont sécantes. En effet, elles ont des pentes différentes.
Les droites $y=3x+1$ et $y=-\frac{1}{3}x-1$ sont perpendiculaires. En effet, le produit de leurs pentes vaut $-1$ : $m_1\cdot m_2=3\cdot -\frac{1}{3}=-1$.