Questions d'examen
Voici quelques questions qui ont été posées lors d'anciens examens et qui concernent ce chapitre.
On considère les deux cercles
$$C_1\, :\, x^2+y^2+4x+4y-17=0,$$
$$C_2\, :\, x^2+y^2-8x+10y+31=0.$$
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Donnez le centre et le rayon de $C_1$.
L'équation du cercle $C_1$ peut s'écrire
$$x^2+4x+4+y^2+4y+4=17+4+4$$
ou encore
$$(x+2)^2+(y+2)^2=25.$$
Le centre est donc $(-2,-2)$ et le rayon vaut $5$.
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Donnez le centre et le rayon de $C_2$.
L'équation du cercle $C_2$ peut s'écrire
$$x^2-8x+16+y^2+10y+25=-31+16+25$$
ou encore
$$(x-4)^2+(y+5)^2=10.$$
Le centre est donc $(4,-5)$ et le rayon vaut $\sqrt{10}$.
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Déterminez l'équation de la droite $AB$ où $A$ et $B$ sont les points d'intersection des cercles $C_1$ et $C_2$.
Pour trouver l'intersection des deux cercles il faut résoudre l'équation
$$x^2+y^2+4x+4y-17=x^2+y^2-8x+10y+31.$$
On trouve $12x-6y=48$ ou encore $y=2x-8$.
La droite $AB$ est donc une droite de pente $m=2$ qui a pour équation $y=2x-8$.
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Montrez que la droite reliant les deux centres est perpendiculaire à la droite $AB$.
La pente de la droite reliant les deux centre vaut
$$m'=\dfrac{-5+2}{4+2}=-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}.$$
Vu que $m\cdot m'=2\cdot\dfrac{-1}{2}=-1$, on en déduit que les deux droites sont perpendiculaires.
Déterminez les paramètres $k$ et $m$ pour que la parabole d'équation $y=kx^2+(m+1)x+m$ coupe l'axe $OY$ en un point d'ordonnée $-3$ et soit tangente à l'axe $OX$. Précisez le point de tangence.
Le point $(0,-3)$ appartient à la parabole $P$, donc $m=-3$ et $P\, :\, y=kx^2-2x-3$.
Puisque la parabole est tangente à l'axe $OX$, l'équation $kx^2-2x-3=0$ n'a qu'une seule solution. On en déduit $12k+4=0$ et donc $k=-\dfrac{1}{3}$. Donc $P\, :\, y=-\dfrac{1}{3}x^2-2x-3$.
Le point de tangence est l'intersection de la parabole avec l'axe $OX$.
On résoud $-\dfrac{1}{3}x^2-2x-3=0$ et donc $x=-3$.
Le point de tangence est $(-3,0)$.
Dans le plan, déterminez l'équation de la perpendiculaire à la droite $\Delta_1\, :\, 21x+5y-3=0$ issue du point commun aux droites $\Delta_2\, :\, 4x+7y-15=0$ et $\Delta_3\, :\, 9x-14y-4=0$.
On trouve l'intersection des droites $\Delta_2$ et $\Delta_3$ en résolvant le système $\left\{ \begin{array}{l} 4x+7y-15=0\\ 9x-14y-4=0 \end{array} \right.$
La solution de ce système est le point $P=(2,1)$.
La pente de la droite $\Delta_1$ vaut $-\dfrac{21}{5}$. La pente de la perpendiculaire vaut donc $m=\dfrac{5}{21}$.
La perpendiculaire cherchée est la droite de pente $m$ passant par $P$ :
$$y-1=\dfrac{5}{21}(x-2)$$
$$y=\dfrac{5}{21}x+\dfrac{11}{21}$$
$$5x-21y+11=0.$$