Exercices pour s’entraîner
Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.
-
Les points $(0,7)$ et $(1,8)$ appartiennent-ils à la parabole $y=2x^2-3x+7$ ?
Un point appartient à cette parabole si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole.
La parabole contient le point $(0,7)$ car $7= 2\cdot 0-0+7$.
La parabole ne contient pas le point $(1,8)$ car $8\neq 2-3+7$.
-
Calculez les intersections avec l'axe $OX$ des paraboles
$\bullet\, y=x^2+3x-10$,
$\bullet\, y=x^2+6x+9$,
$\bullet\, y=2x^2+x+3$.
Les intersections avec l'axe $OX$ s'obtiennent en résolvant l'équation $ax^2+bx+c=0$.
$\bullet\, $ Pour trouver les intersections de la parabole avec $OX$, il faut résoudre l'équation $x^2+3x-10=0$. On calcule $b^2-4ac=9-4\cdot(-10)=9+40=49=7^2$ et donc la parabole a deux intersections avec $OX$ : $x_1=\frac{-3+7}{2}=2$ et $x_2=\frac{-3-7}{2}=-5$. Les points d'intersection sont donc $(2,0)$ et $(-5,0)$.
$\bullet\, $ Pour trouver les intersections de la parabole avec $OX$, il faut résoudre l'équation $x^2+6x+9=0$. On calcule $b^2-4ac=36-4\cdot 9=0$ et donc la parabole a une intersection avec $OX$ : $x_1=\frac{-6}{2}=-3$. Le point d'intersection est donc $(-3,0)$.
$\bullet\, $ Pour trouver les intersections de la parabole avec $OX$, il faut résoudre l'équation $2x^2+x+3=0$. On calcule $b^2-4ac=1-4\cdot 2\cdot 3<0$ et donc la parabole n'a pas d'intersection avec $OX$.
-
On considère la parabole d'équation $y=x^2-4x+8$.
Donnez les coordonnées du sommet, l'équation de l'axe de symétrie ainsi que ses intersections avec les axes $OX$ et $OY$.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées $S=\left(\frac{-b}{2a},\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\right).$
L'axe de symétrie de la parabole est une droite ayant pour équation $x=\frac{-b}{2a}.$
Les intersections avec l'axe $OX$ s'obtiennent en résolvant l'équation $ax^2+bx+c=0$.
L'intersection avec l'axe $OY$ est le point de coordonnées $(0,c)$.
Sommet : $\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)=(2,4)$.
Axe de symétrie : $x=-\frac{b}{2a}$ d'où $x=2$.
Intersections avec l'axe $OX$ : il faut résoudre l'équation $x^2-4x+8=0$. Vu que $\Delta=16-4\cdot 1\cdot 8=-16<0$, il n'y a pas d'intersection avec l'axe $OX$.
Intersection avec l'axe $OY$ : $y=0^2-4\cdot 0+8=8$. L'intersection avec l'axe $OY$ est donc le point $(0,8)$.
-
Donnez l'équation de la parabole de sommet $(2,1)$ et qui coupe l'axe des ordonnées en $y=9$.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées $S=\left(\frac{-b}{2a},\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\right).$
L'intersection avec l'axe $OY$ est le point de coordonnées $(0,c)$.
Soit $P\, :\, y=ax^2+bx+c$.
$\bullet\, (2,1)\in P$ donc $4a+2b+c=1$,
$\bullet\, (2,1)\in $ axe donc $-\dfrac{b}{2a}=2$,
$\bullet\, (0,9)\in P$ donc $0\cdot a+0\cdot b+c=9$.
Il faut donc résoudre le système $$ \left\{ \begin{array}{l} 4a+2b+c=1\\ -\dfrac{b}{2a}=2\\ c=9 \end{array} \right. $$
On en déduit $b=-4a$ et donc $4a-8a=-8$ d'où $a=2$. De plus $b=-4a=-8$.
La parabole recherchée a donc pour équation $y=2x^2-8x+9$.
-
Déterminez $m$ pour que la parabole d'équation $y=x^2+(m+1)x+m$ passe par l'origine.
Pour que la parabole passe par l'origine, il faut que $(0,0)$ satisfasse son équation.
Pour que la parabole passe par l'origine, il faut que $(0,0)$ satisfasse son équation. En remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans l'équation, on trouve $m=0$. La parabole recherchée est donc $y=x^2+x$.
-
Déterminez $m$ pour que la parabole d'équation $y=x^2+(m+1)x+m$ ait pour sommet un point d'ordonnée $-4$.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées $S=\left(\frac{-b}{2a},\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\right).$
Le sommet a pour ordonnée $-4$ si $\frac{-(b^2-4ac)}{4a}=-4$. Dans ce cas, $\frac{-(m-1)^2}{4}=-4$, donc $(m-1)^2=16$ et $m=5$ ou $m=-3$. Il y a donc deux paraboles répondant à cette condition : $y=x^2+6x+5$ et $y=x^2-2x-3$.
-
Soit $A=(1,1)$ et $B=(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$ deux points du plan.
$\bullet\, $ Donnez l'équation de la droite $\Delta$ passant par $A$ et $B$.
$\bullet\, $ Déterminez le sommet, l'axe de symétrie et les intersections avec les axes $OX$ et $OY$ de la parabole $P:\, y=x^2+x-6$.
$\bullet\, $ Sur quel intervalle la parabole $P$ est-elle en-dessous de la droite $\Delta$ ?
Le sommet de la parabole a pour coordonnées $S=\left(\frac{-b}{2a},\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\right).$
L'axe de symétrie de la parabole est une droite ayant pour équation $x=\frac{-b}{2a}.$
Les intersections avec l'axe $OX$ s'obtiennent en résolvant l'équation $ax^2+bx+c=0$.
L'intersection avec l'axe $OY$ est le point de coordonnées $(0,c)$.
$\bullet\, $ La droite $\Delta$ a pour équation $y-1=\dfrac{\frac{5}{2}-1}{-\frac{1}{2}-1}(x-1)$, c'est-à-dire $y=-x+2$.
$\bullet\, $ L'axe de symétrie a pour équation $x=-\frac{1}{2}$ et le sommet est le point $(-\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$. Les intersections avec $OX$ sont $(2,0)$ et $(-3,0)$ et l'intersection avec $OY$ est $(0,-6)$.
$\bullet\, $ Les intersections de la droite et de la parabole sont trouvées en résolvant l'équation $x^2+x-6=-x+2$ ou encore $x^2+2x-8=0$. Les solutions de cette équation sont $x=2$ et $x=-4$. On déduit d'un tableau de signe que la parabole est en-dessous de la droite sur $[-4,2]$.