Exercices résolus
Voici quelques exemples d'exercices résolus en détails.
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Les points $(2,9)$ et $(3,1)$ appartiennent-ils à la parabole $P:y=2x^2+x-1$ ?
On a $(2,9) \in P$ car $9=2\cdot 2^2+2-1$ mais $(3,1) \not \in P$ puisque $1\neq 2\cdot 3^2+3-1$.
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Déterminez le minimum, le sommet et l'axe de symétrie de la parabole $y=x^2+x+1$.
La parabole d'équation $y=x^2+x+1$ possède un minimum. Son axe de symétrie est la droite $x=-\frac{1}{2}$ et son sommet est $S=(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$.
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Déterminez le sommet, l'axe de symétrie et les intersections avec les axes $OX$ et $OY$ de la parabole $P:\, y=x^2+x-6$.
L'axe de symétrie a pour équation $x=-\frac{1}{2}$ et le sommet est le point $(-\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$. Les intersections avec $OX$ sont $(2,0)$ et $(-3,0)$ et l'intersection avec $OY$ est $(0,-6)$.
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Déterminez les paramètres $k$ et $m$ pour que la parabole d'équation $y=kx^2+(m+1)x+m$ coupe l'axe $OY$ en un point d'ordonnée $-3$ et soit tangente à l'axe $OX$. Précisez le point de tangence.
Le point $(0,-3)$ appartient à la parabole $P$, donc $m=-3$ et $P\, :\, y=kx^2-2x-3$.
Puisque la parabole est tangente à l'axe $OX$, l'équation $kx^2-2x-3=0$ n'a qu'une seule solution. On en déduit $12k+4=0$ et donc $k=-\frac{1}{3}$. Donc $P\, :\, y=-\frac{1}{3}x^2-2x-3$.
Le point de tangence est l'intersection de la parabole avec l'axe $OX$. On résoud $-\frac{1}{3}x^2-2x-3=0$ et donc $x=-3$. Le point de tangence est $(-3,0)$.
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Donnez l'équation de la parabole de sommet $(2,-1)$ et qui coupe l'axe des ordonnées en $y=-5$.
Soit $P\, :\, y=ax^2+bx+c$.
$\bullet\, (2,-1)\in P$ donc $4a+2b+c=-1$,
$\bullet\, (2,-1)\in $ axe donc $-\dfrac{b}{2a}=2$,
$\bullet\, (0,-5)\in P$ donc $0\cdot a+0\cdot b+c=-5$.
Il faut donc résoudre le système $$ \left\{ \begin{array}{l} 4a+2b+c=-1\\ -\dfrac{b}{2a}=2\\ c=-5 \end{array} \right. $$
On en déduit $-b=4a$ et donc $-b+2b-5=-1$ d'où $b=4$. De plus $a=-\frac{b}{4}=-\frac{4}{4}=-1$.
La parabole recherchée a donc pour équation $y=-x^2+4x-5$.