Questions de théorie

Une équation du second degré à deux inconnues $y=ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$) est représentée dans le plan cartésien par une parabole.

Un point appartient à cette parabole si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole.

Le signe de $a$ détermine si la parabole a un maximum ($a<0$) ou un minimum ($a>0$).

Dans l'équation $y=ax^2+bx+c$, le signe de $a$ détermine si la parabole a un maximum ($a<0$) ou un minimum ($a>0$).

L'axe de symétrie de la parabole est une droite ayant pour équation

$$x=\frac{-b}{2a}.$$

Le sommet de la parabole a pour coordonnées

$$S=\left(\frac{-b}{2a},\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\right).$$

Les intersections avec l'axe $OX$ s'obtiennent en résolvant l'équation $ax^2+bx+c=0$.

$\bullet\, $ Si $b^2-4ac>0$, la parabole a 2 intersections avec $OX$ : les points $x_1=(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0)$ et $x_2=(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0)$.

$\bullet\, $ Si $b^2-4ac=0$, la parabole a une intersection double avec l'axe $OX$ : le point $x_1=(-\frac{b}{2a},0)$.  Dans ce cas, la parabole est tangente à l'axe $OX$ au point $x_1$.

$\bullet\, $ Si $b^2-4ac<0$, la parabole n'a pas d'intersection avec l'axe $OX$.

$\bullet\, $ Si $b^2-4ac>0$, la parabole a 2 intersections avec $OX$ : les points $x_1=(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0)$ et $x_2=(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0)$.

$\bullet\, $ Si $b^2-4ac=0$, la parabole a une intersection double avec l'axe $OX$ : le point $x_1=(-\frac{b}{2a},0)$.  Dans ce cas, la parabole est tangente à l'axe $OX$ au point $x_1$.

$\bullet\, $ Si $b^2-4ac<0$, la parabole n'a pas d'intersection avec l'axe $OX$.

L'intersection avec l'axe $OY$ est le point de coordonnées $(0,c)$.