LBARC 1143 Mathématique Géométrie Chapitre 10 : Eléments de géométrie dans l’espace Plans Exercices pour s'entraîner

Exercices pour s’entraîner

Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.

  1. Soit $A=(1,2,3)$, $\vec{u}=(1,2,1)$ et $\vec{v}=(1,-4,-1)$. Donnez l'équation cartésienne du plan $\Pi$ passant par $A$ et parallèle aux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

    $\bullet\, $Ecrivez un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\Pi$, sachant que ce vecteur normal est orthogonal à la fois au vecteur $\vec{u}$ et au vecteur $\vec{v}$.

    $\bullet\, $ Remplacez les coordonnées du point $A$ et les composantes du vecteur $\vec{n}$ dans la formule ici.

    On a $\vec{n}=\vec u\times\vec v=(2,2,-6)$ et $A\in \Pi$.  On en déduit l'équation du plan $\Pi\, :\, x+y-3z+6=0$.

  2. Donnez l'équation cartésienne du plan $\Pi$ passant par les points $A=(1,1,-1)$, $B=(3,3,2)$ et $C=(3,-1,-2)$.

    $\bullet\, $Ecrivez un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\Pi$, sachant que ce vecteur normal est orthogonal à la fois au vecteur $\overrightarrow{AB}$ et au vecteur $\overrightarrow{AC}$.

    $\bullet\, $ Remplacez les coordonnées du point $A$ et les composantes du vecteur $\vec{n}$ dans la formule ici.

    On a $\overrightarrow{AB}=(2,2,3)$ et $\overrightarrow{AC}=(2,-2,-1)$ et donc $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4,8,-8)$. Puisque $A\in \Pi$, on en déduit l'équation du plan $\Pi\, :\, x+2y-2z=5$.

  3. Donnez une repésentation paramétrique du plan passant par les points $A=(2,3,6)$, $B=(-2,4,0)$ et $C=(3,-2,5)$.

    La direction du plan est donnée par les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

    On a $\overrightarrow{AB}=(-4,1,-6)$ et $\overrightarrow{AC}=(1,-5,-1)$.  Une représentation paramétrique est donc

    $ \left\{ \begin{array}{l} x=2-4k+l\\ y=3+k-5l\\ z=6-6k-l \end{array} \right. $

    avec $k$, $l\in\mathbb{R}$.

  4. Donnez une équation cartésienne du plan $\Pi$ passant par le point $(4,5,2)$ et perpendiculaire au vecteur $(2,-3,1)$.

    $\bullet\, $Ecrivez un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\Pi$.

    $\bullet\, $ Remplacez les coordonnées du point et les composantes du vecteur $\vec{n}$ dans la formule ici.

    On a $\vec n=(2,-3,1)$ et $(4,5,2)\in\Pi$.  On en déduit l'équation du plan $\Pi\, :\, 2x-3y+z=-5$.

  5. Donnez une équation du plan $\Pi$ passant par $(6,5,-2)$ et parallèle au plan $\Gamma\, :\, x+y-z+1=0$.

    $\bullet\, $Ecrivez un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\Pi$, sachant que ce vecteur normal est parallèle au vecteur normal du plan $\Gamma$.

    $\bullet\, $ Remplacez les coordonnées du point $A$ et les composantes du vecteur $\vec{n}$ dans la formule ici.

    On a $\vec n=(1,1,-1)$ et $(6,5,-2)\in\Pi$.  On en déduit l'équation du plan $\Pi\, :\, x+y-z=13$.

  6. Donnez une équation du plan $\Pi$ qui contient la droite $$ \Delta\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=3+2t\\ y=t\\ z=8-t \end{array} \right. $$ et est parallèle au plan $\Gamma\, :\, 2x+4y+8z=17$.

    $\bullet\, $Ecrivez un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\Pi$, sachant que ce vecteur normal est parallèle au vecteur normal du plan $\Gamma$.

    $\bullet\, $Déterminez un point de la droite $\Delta$. Puisque cette droite est contenue dans le plan $\Pi$, ce point l'est aussi.

    $\bullet\, $ Remplacez les coordonnées du point et les composantes du vecteur $\vec{n}$ dans la formule ici.

    $\bullet\, $Vérifiez que la droite $\Delta$ est bien contenue dans le plan $\Pi$ en remplaçant les coordonnées $x$, $y$ et $z$ de la droite dans l'équation du plan.

    On a $\vec n=(2,4,8)$ et $(3,0,8)\in\Delta$ donc $(3,0,8)\in\Pi$.  On en déduit l'équation du plan $\Pi\, :\, x+2y+4z=35$.

    De plus, $3+2t+2t+4(8-t)=3+4t+32-4t=35$ et donc la droite $\Delta$ est bien contenue dans le plan $\Pi$.

  7. Donnez une équation du plan $\Pi$ passant par le point $A=(1,1,2)$ et la droite $$ \Delta\, :\, \left\{ \begin{array}{l} 2x-y-2z+5=0\\ x+5y+4z=0 \end{array} \right. $$

    $\bullet\, $Ecrivez un vecteur directeur $\vec{v}$ de la droite $\Delta$. Pour cela, déterminez un vecteur normal $\vec{n_1}$ au plan $2x-y-2z+5=0$ et un vecteur normal $\vec{n_2}$ au plan $x+5y+4z=0$. Le vecteur $\vec{v}$ est orthogonal à la fois au vecteur $\vec{n_1}$ et au vecteur $\vec{n_2}$.

    $\bullet\, $Déterminez un point $P$ de la droite $\Delta$. Ce point est aussi un point du plan $\Pi$.

    $\bullet\, $Ecrivez un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\Pi$, sachant que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à la fois au vecteur $\vec{v}$ et au vecteur $\overrightarrow{PA}$.

    $\bullet\, $ Remplacez les coordonnées du point $A$ et les composantes du vecteur $\vec{n}$ dans la formule ici.

    On a $\vec{v}=(2,-1,-2)\times (1,5,4)=(6,-10,11)$ et $P=(-2,0,1/2)\in\Delta$ donc $P=(-2,0,1/2)\in\Pi$.  On prend $\vec n=\vec v\times\overrightarrow{PA}=(6,-10,11)\times (3,1,3/2)=(-26,24,36)$ et on obtient l'équation du plan $\Pi\, :\, 13x-12y-18z+35=0$.

  8. Donnez une équation du plan $\Pi$ passant par les droites

    $$ \Delta_1\, :\, \left\{ \begin{array}{l} \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}\\ \frac{y+2}{-3}=\frac{z-5}{4} \end{array} \right. $$

    et

    $$ \Delta_2\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x-1=\frac{y+1}{-2}\\ \frac{y+1}{-2}=\frac{z}{6} \end{array} \right. $$

    $\bullet\, $Ecrivez un point $P_1$ et un vecteur directeur $\vec{v_1}$ de la droite $\Delta_1$.

    $\bullet\, $Ecrivez un point $P_2$ et un vecteur directeur $\vec{v_2}$ de la droite $\Delta_2$.

    $\bullet\, $Ecrivez un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\Pi$, sachant que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à la fois au vecteur $\vec{v_1}$ et au vecteur $\vec{v_2}$.

    $\bullet\, $ Remplacez les coordonnées du point $P_1$ et les composantes du vecteur $\vec{n}$ dans la formule ici.

    $\bullet\, $Vérifiez que le point $P_2$ appartient bien au plan $\Pi$. Ce n'est pas le cas ici.

    Impossible car les deux droites sont gauches.  En effet, on a $P_1=(1,-2,5)$ et $\vec{v_1}=(2,-3,4)$, $P_2=(1,-1,0)$ et $\vec{v_2}=(1,-2,6)$. On prend $\vec n=\vec{v_1}\times\vec{v_2}=(-10,-8,-1)$ et on obtient l'équation du plan $\Pi\, :\, 10x+8y+z=-1$.  Mais $P_2\not\in\Pi$.

  9. Donnez une équation du plan $\Pi$ passant par $(-1,2,3)$ et parallèle aux droites

    $$ \Delta_1\, :\, \left\{ \begin{array}{l} \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}\\ \frac{y}{3}=\frac{z+2}{4} \end{array} \right. $$

    et

    $$ \Delta_2\, :\, \left\{ \begin{array}{l} x=2\\ \frac{y-1}{4}=\frac{z+3}{5} \end{array} \right. $$

    $\bullet\, $Ecrivez un point $P_1$ et un vecteur directeur $\vec{v_1}$ de la droite $\Delta_1$.

    $\bullet\, $Ecrivez un point $P_2$ et un vecteur directeur $\vec{v_2}$ de la droite $\Delta_2$.

    $\bullet\, $Ecrivez un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\Pi$, sachant que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à la fois au vecteur $\vec{v_1}$ et au vecteur $\vec{v_2}$.

    $\bullet\, $ Remplacez les coordonnées du point $P_1$ et les composantes du vecteur $\vec{n}$ dans la formule ici.

    On a $P_1=(1,0,-2)$ et $\vec{v_1}=(2,3,4)$, $P_2=(2,1,-3)$ et $\vec{v_2}=(0,4,5)$. On prend $\vec n=\vec{v_1}\times\vec{v_2}=(-1,-10,8)$ et on obtient l'équation du plan $\Pi\, :\, x+10y-8z=17$.