Questions de théorie
Ces questions sont destinées à vous faire revoir la théorie de ce chapitre.
Définissez angle inscrit dans un cercle et angle au centre d'un cercle.
Les définitions se trouvent dans le syllabus, chapitre 2, section 3.
Un angle est inscrit dans un cercle si son sommet est un point du cercle et si ses deux côtés coupent le cercle en un deuxième point.
Un angle au centre d'un cercle a le centre de ce cercle comme sommet.
Démontrez que dans un cercle, l'amplitude de l'angle au centre vaut le double de l'amplitude de l'angle inscrit qui intercepte le même arc dans le cas où le centre appartient à un côté de l'angle inscrit.
La démonstration se trouve dans le syllabus, chapitre 2, section 3.
Soit $O$ le centre du cercle, $\widehat{AOB}$ l'angle au centre interceptant l'arc $AB$ et $\widehat{BCA}$ l'angle inscrit interceptant l'arc $AB$.
On a $\widehat{AOB}+\widehat{COB}=180^{\circ}$ mais aussi $\widehat{OBC}+\widehat{BCO}+\widehat{COB}=180^{\circ}$. On en déduit que $\widehat{AOB}=\widehat{OBC}+\widehat{BCO}$.
Puisque $\vert OB\vert=\vert OC\vert$ est le rayon du cercle, le triangle $COB$ est isocèle et donc $\widehat{OBC}=\widehat{BCO}$.
Finalement, on a $$ \widehat{AOB}=\widehat{OBC}+\widehat{BCO}=2\widehat{BCO}=2\widehat{BCA}. $$
Démontrez que dans un cercle, l'amplitude de l'angle au centre vaut le double de l'amplitude de l'angle inscrit qui intercepte le même arc dans le cas où le centre est intérieur à l'angle inscrit.
La démonstration se trouve dans le syllabus, chapitre 2, section 3.
Soit $O$ le centre du cercle, $\widehat{AOB}$ l'angle au centre interceptant l'arc $AB$ et $\widehat{BCA}$ l'angle inscrit interceptant l'arc $AB$.
Traçons le diamètre $CD$. On déduit du cas ci-dessus que $\widehat{BOD}=2\widehat{BCD}$ et $\widehat{DOA}=2\widehat{DCA}$. Donc$$ \widehat{BOA}=\widehat{BOD}+\widehat{DOA}=2\widehat{BCD}+2\widehat{DCA}=2(\widehat{BCD}+\widehat{DCA})=2\widehat{BCA}. $$
Démontrez que dans un cercle, l'amplitude de l'angle au centre vaut le double de l'amplitude de l'angle inscrit qui intercepte le même arc dans le cas où le centre est extérieur à l'angle inscrit.
La démonstration se trouve dans le syllabus, chapitre 2, section 3.
Soit $O$ le centre du cercle, $\widehat{AOB}$ l'angle au centre interceptant l'arc $AB$ et $\widehat{BCA}$ l'angle inscrit interceptant l'arc $AB$.
Traçons le diamètre $CD$. On déduit du cas ci-dessus que $\widehat{BOD}=2\widehat{BCD}$ et $\widehat{AOD}=2\widehat{ACD}$. Donc
$$ \widehat{BOA}=\widehat{BOD}-\widehat{AOD}=2\widehat{BCD}-2\widehat{ACD}=2(\widehat{BCD}-\widehat{ACD})=2\widehat{BCA}. $$
Démontrez que dans un cercle, des angles inscrits interceptant le même arc ont même amplitude.
La démonstration se trouve dans le syllabus, chapitre 2, section 3.
Soit $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ADB}$ deux angles inscrits dans un cercle et qui interceptent le même arc $AB$. Soit $\widehat{AOB}$ l'angle au centre interceptant le même arc $AB$.
On sait que dans un cercle, l'amplitude de l'angle au centre vaut le double de l'amplitude de l'angle inscrit qui intercepte le même arc et donc $\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}$ et $\widehat{AOB}=2\widehat{ADB}$. Donc $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$.
Démontrez que tout triangle inscrit dans un demi-cercle est un triangle rectangle.
La démonstration se trouve dans le syllabus, chapitre 2, section 3.
Soit $ABC$ le triangle inscrit dans le demi-cercle de centre $O$ et de diamètre $BC$.
L'angle inscrit $\widehat{BAC}$ et l'angle au centre $\widehat{BOC}$ interceptent le même arc $BC$.On déduit de la proposition B07 que $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}$. Comme $\widehat{BOC}=180^{\circ}$, on a $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Démontrez qu'on peut inscrire tout triangle rectangle dans un demi-cerlce dont le diamètre est l'hypoténuse du triangle.
La démonstration se trouve dans le syllabus, chapitre 2, section 3.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $O$ le point milieu du segment $BC$.
Traçons le cercle de centre $O$ et de diamètre $BC$ ainsi que le rectangle $ABDC$. Dans un rectangle, les diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu. On en déduit que $\vert AO\vert=\vert OD\vert=\vert BO\vert=\vert OC\vert$. Donc $A$ appartient au cercle de centre $O$ et de diamètre $BC$.