Questions de théorie

L'espace $\mathbb{R}^3$ est l'ensemble $\left\{(x,y,z);\, x\in\mathbb{R}, y\in\mathbb{R}, z\in\mathbb{R}\right\}$.

Un repère cartésien orthonormé de l'espace est constitué de trois droites perpendiculaires deux à deux, chacune munie de la même unité de longueur, qui se coupent en leur point origine.

En général, les axes $OY$ et $OZ$ se trouvent dans le plan du tableau et $OX$ se projette vers l'avant.

On dit que le repère formé par les axes $OX$, $OY$ et $OZ$ est droit ou d'orientation directe si un spectateur ``debout'' sur le plan $OXY$, les pieds en $O$ et la tête en $Z$, observe que pour amener la droite $OX$ sur la droite $OY$, il doit faire une rotation dans le sens antihorlogique (on regarde le plus petit angle possible). Dans le cas contraire, on parle de repère gauche.

Si on permute 2 axes d'un repère droit, on obtient un repère gauche.

Si on change la direction d'un axe d'un repère droit, on obtient un repère gauche.

On projette un point $P$ quelconque de l'espace perpendiculairement sur les plans $OXY$ et $OYZ$ puis on mène des parallèles aux axes qui coupent ceux-ci en $a$ pour l'axe des $x$, en $b$ pour l'axe des $y$ et en $c$ pour l'axe des $z$. Le point $P$ est ainsi associé au triple de nombres réels $(a,b,c)$ qui sont les coordonnées cartésiennes du point $P$.

La distance entre deux points $P=(x_p,y_p,z_p)$ et $Q=(x_q,y_q,z_q)$ de $\mathbb{R}^3$ est donnée par la formule

$$d(P,Q)= \sqrt{(x_q -x_p)^2 +(y_q-y_p)^2+(z_q-z_p)^2}.$$

Cette formule provient d'une double application du Théorème de Pythagore.

Si $P=(x_p,y_p,z_p)$ et $Q=(x_q,y_q,z_q)$ alors on a $R=(x_q,y_q,z_p)$ et $S=(x_q,y_p,z_p)$.

Dans le plan $PSR$, le triangle $PSR$ est rectangle en $S$ et par le Théorème de Pythagore, on obtient

$$t^2=(x_q-x_p)^2+(y_q-y_p)^2.$$

Dans le plan $PQR$, le triangle $PQR$ est rectangle en $R$ et par le Théorème de Pythagore, on obtient

$$d^2=t^2+(z_q-z_p)^2.$$

Finalement, on a

$$d^2=(x_q-x_p)^2+(y_q-y_p)^2+(z_q-z_p)^2.$$

La distance entre deux points $A=(a,b,c)$ et $B=(x,y,z)$ est donnée par la formule

$$d(A,B)= \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2+(z-c)^2}.$$

La distance entre les points $O=(0,0,0)$ et $A=(a,b,c)$ est donnée par la formule

$$d(O,A)= \sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2+(c-0)^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

Pour obtenir les coordonnées cylindriques, on garde une des coordonnées cartésiennes, par exemple $z$, et, dans le plan de coordonnées correspondant aux 2 autres on passe aux coordonnées polaires. Un point $P$ se trouvera ainsi repéré par

$\bullet\, $ la cote $z$,

$\bullet\, $ les coordonnées polaires $r$ et $\theta$ de sa projection orthogonale dans le plan $OXY$.

Pour obtenir les coordonnées sphériques, on donne les trois quantités suivantes :

$\bullet\, $ la distance du point $P$ à l'origine, notée $r$ ($r>0$),

$\bullet\, $ l'angle que fait le demi-plan comprenant $OZ$ et $P$ avec le demi-plan $OXZ$, appelé longitude et noté $\varphi$,

$\bullet\, $ l'angle que fait $OP$ avec $OZ$, appelé co-latitude et noté $\theta$ (la latitude se compte à partir de l'équateur).