Exercices pour s’entraîner
Entraînez-vous à résoudre les exercices suivants.
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Déterminez le rayon de la sphère de centre $(1,2,-1)$ et passant par le point $(0,3,2)$.
Le rayon de la sphère est donné par la distance entre les deux points. Cette distance s'obtient au moyen de la formule ici.
Le rayon de cette sphère est $d((1,2,-1),(0,3,2))=\sqrt{(0-1)^2+(3-2)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}$.
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Déterminez l'équation de la sphère centrée à l'origine et qui passe par le point $D=(4,0,3)$ .
Pour trouver le rayon de cette sphère, on calcule la distance entre l'origine et le point $D$ . Le rayon de cette sphère est donc donné par $$ r=\sqrt{(4-0)^2+(0-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. $$ L'équation de la sphère est $$ x^2+y^2+z^2=25. $$
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Déterminez l'équation de la sphère centrée en $C=(-1,2,-3)$ et qui passe par le point $D=(2,1,0)$.
Pour trouver le rayon de cette sphère, on calcule la distance entre les points $C$ et $D$ . Le rayon de cette sphère est donc donné par $$ r=\sqrt{(2-(-1))^2+(1-2)^2+(0-(-3))^2}=\sqrt{9+1+9}=\sqrt{19}. $$ L'équation de la sphère est $$(x-(-1))^2+(y-2)^2+(z-(-3))^2=(\sqrt{19})^2$$ c'est-à-dire $$ (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=19. $$
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Déterminez le centre et le rayon de la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-8x-12y+14z+1=0$.
$\bullet\, $ Complétez les carrés pour obtenir une équation du type de celle-ci.
$\bullet\, $ Le centre est le point de coordonnées $(x_c,y_c,z_c)$ et le rayon est $r$.
Il faut compléter les carrés pour obtenir une équation du type de celle-ci.
On obtient $$ x^2+y^2+z^2-8x-12y+14z+1=0 $$ $$ x^2-8x+y^2-12y+z^2+14z=-1$$ $$ x^2-2\cdot 4\cdot x+4^2+y^2-2\cdot 6\cdot y+6^2+z^2+2\cdot 7\cdot z+7^2=-1+4^2+6^2+7^2 $$ $$ x^2-8x+16+y^2-12y+36+z^2+14z+49=-1+16+36+49 $$ $$ (x-4)^2+(y-6)^2+(z+7)^2=100. $$ $$ (x-4)^2+(y-6)^2+(z-(-7))^2=10^2. $$ Il s'agit de la sphère de centre $(4,6,-7)$ et de rayon $10$.
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Déterminez le centre et le rayon de la sphère $x^2+y^2+z^2-4x+6z+9=0$.
$\bullet\, $ Complétez les carrés pour obtenir une équation du type de celle-ci.
$\bullet\, $ Le centre est le point de coordonnées $(x_c,y_c,z_c)$ et le rayon est $r$.
Il faut compléter les carrés pour obtenir une équation du type de celle-ci.
On obtient $$ x^2+y^2+z^2-4x+6z+9=0 $$ $$ x^2-4x+y^2+z^2+6z=-9 $$ $$ x^2-2\cdot 2\cdot x+2^2+y^2+z^2+2\cdot 3\cdot z+3^2=-9+2^2+3^2 $$ $$ x^2-4x+4+y^2+z^2+6z+9=-9+4+9 $$ $$ (x-2)^2+y^2+(z+3)^2=4. $$ $$ (x-2)^2+y^2+(z-(-3))^2=2^2. $$ Il s'agit de la sphère de centre $(2,0,-3)$ et de rayon $2$.
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Soient $R=(4,4,4)$ et $S=(2,2,0).$ Donnez l'équation de la sphère $\Sigma$ centrée en $M$ (milieu du segment reliant $R$ à $S$) et qui contient $S$ et $R$.
$\bullet\, $ Déterminez les coordonnées de $M$, milieu du segment reliant $R$ à $S$ en utilisant la formule ici. Ce point est le centre de la sphère.
$\bullet\, $ Le rayon de la sphère est donné par la distance de $M$ à $R$ par exemple. Cette distance s'obtient au moyen de la formule ici.
$\bullet\, $ Pour trouver l'équation de la sphère, on remplace $(x_c,y_c,z_c)$ par les coordonnées du centre $M$ et $r$ par le rayon dans l'équation ici.
Le milieu du segment reliant $R$ à $S$ est donné par $M=\frac{1}{2}(6,6,4)=(3,3,2)$.
Le rayon de cette sphère est $\Vert\overrightarrow{MR}\Vert=\sqrt{(4-3)^2+(4-3)^2+(4-2)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$.
La sphère $\Sigma$ a donc pour équation $$(x-3)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=6.$$