LBARC 1143 Mathématique Géométrie Chapitre 10 : Eléments de géométrie dans l’espace Sphères Exercices résolus

Exercices résolus

Voici quelques exemples d'exercices résolus en détails.

  1. Déterminez l'équation de la sphère centrée à l'origine et de rayon $5$.

    Pour trouver l'équation de la sphère, on remplace $(x_c,y_c,z_c)$ par les coordonnées du centre $(0,0,0)$ et $r$ par $5$ dans l'équation ici.

    Cette sphère a donc pour équation $$ x^2+y^2+z^2=25. $$

  2. Déterminez l'équation de la sphère centrée en $C=(1,-2,3)$ et de rayon $4$.

    Pour trouver l'équation de la sphère, on remplace $(x_c,y_c,z_c)$ par les coordonnées du centre $C$ et $r$ par $4$ dans l'équation ici.

    Cette sphère a donc pour équation $(x-1)^2+(y-(-2))^2+(z-3)^2=4^2$, c'est-à-dire $$ (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16. $$

  3. Déterminez l'équation de la sphère centrée en $C=(1,2,3)$ et qui passe par le point $D=(2,0,1)$ .

    Pour trouver le rayon de cette sphère, on calcule la distance entre les points $C$ et $D$ à l'aide de la formule ici.

    Le rayon de cette sphère est donc donné par $$ r=\sqrt{(2-1)^2+(0-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{9}=3. $$ Ensuite pour trouver l'équation de la sphère, on remplace $(x_c,y_c,z_c)$ par les coordonnées du centre $C$ et $r$ par $3$ dans l'équation ici. 

    Cette sphère a donc pour équation $$ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9. $$

  4. Déterminez le centre et le rayon de la sphère $x^2+y^2+z^2+2x-6y+4z-35=0$.

    Il faut compléter les carrés pour obtenir une équation du type de celle-ci.

    On obtient $$ x^2+y^2+z^2+2x-6y+4z-35=0 $$ $$ x^2+2x+y^2-6y+z^2+4z=35 $$ $$ x^2+2\cdot 1\cdot x+1^2+y^2-2\cdot 3\cdot y+3^2+z^2+2\cdot 2\cdot z+2^2=35+1^2+3^2+2^2 $$ $$ x^2+2x+1+y^2-6y+9+z^2+4z+4=35+1+9+4 $$ $$ (x+1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=49. $$ $$ (x-(-1))^2+(y-3)^2+(z-(-2))^2=7^2. $$ Il s'agit de la sphère de centre $(-1,3,-2)$ et de rayon $7$.